Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76228 / 73165
↖ ↑ ↗
← S 20.501637°
E 29.366455°		 ← 286.08 m → S 20.501637°
E 29.369202°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
S 20.504210°
E 29.366455°		 ← 286.08 m →
81 835 m²		 S 20.504210°
E 29.369202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581577301025391 y=0.558208465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581577301025391 × 217)
    floor (0.581577301025391 × 131072)
    floor (76228.5)     		tx = 76228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558208465576172 × 217)
    floor (0.558208465576172 × 131072)
    floor (73165.5)     		ty = 73165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76228 / 73165 ti = "17/76228/73165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76228/73165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76228 ÷ 217
    76228 ÷ 131072     		x = 0.581573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73165 ÷ 217
    73165 ÷ 131072     		y = 0.558204650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581573486328125 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558204650878906 × 2 - 1) × π
    -0.116409301757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.365710607201408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51254133} λ = 0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365710607201408))-π/2
    2×atan(0.693703524968833)-π/2
    2×0.606487630211589-π/2
    1.21297526042318-1.57079632675     		φ = -0.35782107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35782107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.501637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76228 KachelY 73165 0.51254133 -0.35782107 29.366455 -20.501637
    Oben rechts KachelX + 1 76229 KachelY 73165 0.51258927 -0.35782107 29.369202 -20.501637
    Unten links KachelX 76228 KachelY + 1 73166 0.51254133 -0.35786597 29.366455 -20.504210
    Unten rechts KachelX + 1 76229 KachelY + 1 73166 0.51258927 -0.35786597 29.369202 -20.504210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35782107--0.35786597) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dl = 286.057899999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35782107--0.35786597) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dr = 286.057899999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51254133-0.51258927) × cos(-0.35782107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93666218227105 × 6371000     		do = 286.080740149963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51254133-0.51258927) × cos(-0.35786597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936646455813786 × 6371000     		du = 286.075936885115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35782107)-sin(-0.35786597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93666218227105-0.936646455813786)×R²
    abs(0.51258927-0.51254133)×1.57264572639981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57264572639981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57264572639981e-05×40589641000000     		ar = 81834.9687654583m²