Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76225 / 74305
↖ ↑ ↗
← S 23.405285°
E 29.358215°		 ← 280.29 m → S 23.405285°
E 29.360962°		 →
↑
280.32 m
↓
↑
280.32 m
↓
S 23.407806°
E 29.358215°		 ← 280.29 m →
78 573 m²		 S 23.407806°
E 29.360962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581554412841797 y=0.566905975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581554412841797 × 217)
    floor (0.581554412841797 × 131072)
    floor (76225.5)     		tx = 76225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566905975341797 × 217)
    floor (0.566905975341797 × 131072)
    floor (74305.5)     		ty = 74305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76225 / 74305 ti = "17/76225/74305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76225/74305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76225 ÷ 217
    76225 ÷ 131072     		x = 0.581550598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74305 ÷ 217
    74305 ÷ 131072     		y = 0.566902160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581550598144531 × 2 - 1) × π
    0.163101196289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51239752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566902160644531 × 2 - 1) × π
    -0.133804321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.420358672768272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51239752} λ = 0.51239752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420358672768272))-π/2
    2×atan(0.65681119727153)-π/2
    2×0.581148516081301-π/2
    1.1622970321626-1.57079632675     		φ = -0.40849929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51239752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.358215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40849929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.405285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76225 KachelY 74305 0.51239752 -0.40849929 29.358215 -23.405285
    Oben rechts KachelX + 1 76226 KachelY 74305 0.51244546 -0.40849929 29.360962 -23.405285
    Unten links KachelX 76225 KachelY + 1 74306 0.51239752 -0.40854329 29.358215 -23.407806
    Unten rechts KachelX + 1 76226 KachelY + 1 74306 0.51244546 -0.40854329 29.360962 -23.407806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40849929--0.40854329) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dl = 280.323999999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40849929--0.40854329) × R
    4.39999999999885e-05 × 6371000     		dr = 280.323999999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51239752-0.51244546) × cos(-0.40849929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917717986858972 × 6371000     		do = 280.294695247528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51239752-0.51244546) × cos(-0.40854329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.917700507738547 × 6371000     		du = 280.289356674238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40849929)-sin(-0.40854329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917717986858972-0.917700507738547)×R²
    abs(0.51244546-0.51239752)×1.74791204243796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74791204243796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74791204243796e-05×40589641000000     		ar = 78572.5818981213m²