Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76225 / 73184
↖ ↑ ↗
← S 20.550509°
E 29.358215°		 ← 285.99 m → S 20.550509°
E 29.360962°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
S 20.553081°
E 29.358215°		 ← 285.98 m →
81 791 m²		 S 20.553081°
E 29.360962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581554412841797 y=0.558353424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581554412841797 × 217)
    floor (0.581554412841797 × 131072)
    floor (76225.5)     		tx = 76225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558353424072266 × 217)
    floor (0.558353424072266 × 131072)
    floor (73184.5)     		ty = 73184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76225 / 73184 ti = "17/76225/73184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76225/73184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76225 ÷ 217
    76225 ÷ 131072     		x = 0.581550598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73184 ÷ 217
    73184 ÷ 131072     		y = 0.558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581550598144531 × 2 - 1) × π
    0.163101196289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51239752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51239752} λ = 0.51239752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366621408294189))-π/2
    2×atan(0.693071986686763)-π/2
    2×0.606061141820308-π/2
    1.21212228364062-1.57079632675     		φ = -0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51239752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.358215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76225 KachelY 73184 0.51239752 -0.35867404 29.358215 -20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 76226 KachelY 73184 0.51244546 -0.35867404 29.360962 -20.550509
    Unten links KachelX 76225 KachelY + 1 73185 0.51239752 -0.35871893 29.358215 -20.553081
    Unten rechts KachelX + 1 76226 KachelY + 1 73185 0.51244546 -0.35871893 29.360962 -20.553081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35867404--0.35871893) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35867404--0.35871893) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51239752-0.51244546) × cos(-0.35867404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 285.989393443975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51239752-0.51244546) × cos(-0.35871893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936347343537606 × 6371000     		du = 285.98458029682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35867404)-sin(-0.35871893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936347343537606)×R²
    abs(0.51244546-0.51239752)×1.57588131064479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57588131064479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57588131064479e-05×40589641000000     		ar = 81790.6166742353m²