Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76224 / 73180
↖ ↑ ↗
← S 20.540221°
E 29.355469°		 ← 286.01 m → S 20.540221°
E 29.358215°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
S 20.542793°
E 29.355469°		 ← 286 m →
81 796 m²		 S 20.542793°
E 29.358215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581546783447266 y=0.558322906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581546783447266 × 217)
    floor (0.581546783447266 × 131072)
    floor (76224.5)     		tx = 76224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558322906494141 × 217)
    floor (0.558322906494141 × 131072)
    floor (73180.5)     		ty = 73180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76224 / 73180 ti = "17/76224/73180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76224/73180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76224 ÷ 217
    76224 ÷ 131072     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73180 ÷ 217
    73180 ÷ 131072     		y = 0.558319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.366429660695709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366429660695709))-π/2
    2×atan(0.693204894317736)-π/2
    2×0.606150917529165-π/2
    1.21230183505833-1.57079632675     		φ = -0.35849449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35849449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.540221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76224 KachelY 73180 0.51234958 -0.35849449 29.355469 -20.540221
    Oben rechts KachelX + 1 76225 KachelY 73180 0.51239752 -0.35849449 29.358215 -20.540221
    Unten links KachelX 76224 KachelY + 1 73181 0.51234958 -0.35853938 29.355469 -20.542793
    Unten rechts KachelX + 1 76225 KachelY + 1 73181 0.51239752 -0.35853938 29.358215 -20.542793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35849449--0.35853938) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35849449--0.35853938) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51239752) × cos(-0.35849449) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.936426115225406 × 6371000     		do = 286.00863919852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51239752) × cos(-0.35853938) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.936410363959576 × 6371000     		du = 286.003828356498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35849449)-sin(-0.35853938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936426115225406-0.936410363959576)×R²
    abs(0.51239752-0.51234958)×1.57512658299774e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.57512658299774e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.57512658299774e-05×40589641000000     		ar = 81796.1211779593m²