Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76223 / 74189
↖ ↑ ↗
← S 23.112575°
E 29.352722°		 ← 280.85 m → S 23.112575°
E 29.355469°		 →
↑
280.90 m
↓
↑
280.90 m
↓
S 23.115102°
E 29.352722°		 ← 280.85 m →
78 890 m²		 S 23.115102°
E 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581539154052734 y=0.566020965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581539154052734 × 217)
    floor (0.581539154052734 × 131072)
    floor (76223.5)     		tx = 76223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566020965576172 × 217)
    floor (0.566020965576172 × 131072)
    floor (74189.5)     		ty = 74189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76223 / 74189 ti = "17/76223/74189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76223/74189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76223 ÷ 217
    76223 ÷ 131072     		x = 0.581535339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74189 ÷ 217
    74189 ÷ 131072     		y = 0.566017150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581535339355469 × 2 - 1) × π
    0.163070678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51230165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566017150878906 × 2 - 1) × π
    -0.132034301757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.414797992412346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51230165} λ = 0.51230165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414797992412346))-π/2
    2×atan(0.660473687926301)-π/2
    2×0.583702893296052-π/2
    1.1674057865921-1.57079632675     		φ = -0.40339054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51230165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.352722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40339054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.112575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76223 KachelY 74189 0.51230165 -0.40339054 29.352722 -23.112575
    Oben rechts KachelX + 1 76224 KachelY 74189 0.51234958 -0.40339054 29.355469 -23.112575
    Unten links KachelX 76223 KachelY + 1 74190 0.51230165 -0.40343463 29.352722 -23.115102
    Unten rechts KachelX + 1 76224 KachelY + 1 74190 0.51234958 -0.40343463 29.355469 -23.115102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40339054--0.40343463) × R
    4.40899999999966e-05 × 6371000     		dl = 280.897389999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40339054--0.40343463) × R
    4.40899999999966e-05 × 6371000     		dr = 280.897389999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51230165-0.51234958) × cos(-0.40339054) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.919735363922587 × 6371000     		do = 280.852257789711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51230165-0.51234958) × cos(-0.40343463) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.919718055984479 × 6371000     		du = 280.846972602596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40339054)-sin(-0.40343463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919735363922587-0.919718055984479)×R²
    abs(0.51234958-0.51230165)×1.73079381076136e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.73079381076136e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.73079381076136e-05×40589641000000     		ar = 78889.9239038536m²