Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76221 / 73186
↖ ↑ ↗
← S 20.555652°
E 29.347229°		 ← 285.98 m → S 20.555652°
E 29.349976°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
S 20.558224°
E 29.347229°		 ← 285.97 m →
81 788 m²		 S 20.558224°
E 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581523895263672 y=0.558368682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581523895263672 × 217)
    floor (0.581523895263672 × 131072)
    floor (76221.5)     		tx = 76221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558368682861328 × 217)
    floor (0.558368682861328 × 131072)
    floor (73186.5)     		ty = 73186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76221 / 73186 ti = "17/76221/73186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76221/73186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76221 ÷ 217
    76221 ÷ 131072     		x = 0.581520080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73186 ÷ 217
    73186 ÷ 131072     		y = 0.558364868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581520080566406 × 2 - 1) × π
    0.163040161132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51220577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.116729736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.36671728209343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51220577} λ = 0.51220577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36671728209343))-π/2
    2×atan(0.693005542427435)-π/2
    2×0.606016256231689-π/2
    1.21203251246338-1.57079632675     		φ = -0.35876381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51220577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.347229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35876381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.555652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76221 KachelY 73186 0.51220577 -0.35876381 29.347229 -20.555652
    Oben rechts KachelX + 1 76222 KachelY 73186 0.51225371 -0.35876381 29.349976 -20.555652
    Unten links KachelX 76221 KachelY + 1 73187 0.51220577 -0.35880870 29.347229 -20.558224
    Unten rechts KachelX + 1 76222 KachelY + 1 73187 0.51225371 -0.35880870 29.349976 -20.558224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35876381--0.35880870) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35876381--0.35880870) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51220577-0.51225371) × cos(-0.35876381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936331586348825 × 6371000     		do = 285.979767645776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51220577-0.51225371) × cos(-0.35880870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93631582376248 × 6371000     		du = 285.974953346178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35876381)-sin(-0.35880870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936331586348825-0.93631582376248)×R²
    abs(0.51225371-0.51220577)×1.57625863441702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57625863441702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57625863441702e-05×40589641000000     		ar = 81787.8635870619m²