Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76219 / 74179
↖ ↑ ↗
← S 23.087312°
E 29.341736°		 ← 280.96 m → S 23.087312°
E 29.344483°		 →
↑
280.90 m
↓
↑
280.90 m
↓
S 23.089838°
E 29.341736°		 ← 280.96 m →
78 921 m²		 S 23.089838°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581508636474609 y=0.565944671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581508636474609 × 217)
    floor (0.581508636474609 × 131072)
    floor (76219.5)     		tx = 76219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565944671630859 × 217)
    floor (0.565944671630859 × 131072)
    floor (74179.5)     		ty = 74179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76219 / 74179 ti = "17/76219/74179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76219/74179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76219 ÷ 217
    76219 ÷ 131072     		x = 0.581504821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74179 ÷ 217
    74179 ÷ 131072     		y = 0.565940856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581504821777344 × 2 - 1) × π
    0.163009643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51210990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565940856933594 × 2 - 1) × π
    -0.131881713867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.414318623416145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51210990} λ = 0.51210990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414318623416145))-π/2
    2×atan(0.660790374433881)-π/2
    2×0.583923360340081-π/2
    1.16784672068016-1.57079632675     		φ = -0.40294961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51210990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.341736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40294961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.087312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76219 KachelY 74179 0.51210990 -0.40294961 29.341736 -23.087312
    Oben rechts KachelX + 1 76220 KachelY 74179 0.51215784 -0.40294961 29.344483 -23.087312
    Unten links KachelX 76219 KachelY + 1 74180 0.51210990 -0.40299370 29.341736 -23.089838
    Unten rechts KachelX + 1 76220 KachelY + 1 74180 0.51215784 -0.40299370 29.344483 -23.089838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40294961--0.40299370) × R
    4.40899999999966e-05 × 6371000     		dl = 280.897389999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40294961--0.40299370) × R
    4.40899999999966e-05 × 6371000     		dr = 280.897389999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51210990-0.51215784) × cos(-0.40294961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919908356727648 × 6371000     		do = 280.963690585541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51210990-0.51215784) × cos(-0.40299370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919891066671264 × 6371000     		du = 280.958409757276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40294961)-sin(-0.40299370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919908356727648-0.919891066671264)×R²
    abs(0.51215784-0.51210990)×1.7290056383179e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7290056383179e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7290056383179e-05×40589641000000     		ar = 78921.2256975227m²