Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76216 / 74172
↖ ↑ ↗
← S 23.069624°
E 29.333496°		 ← 280.94 m → S 23.069624°
E 29.336242°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
S 23.072152°
E 29.333496°		 ← 280.94 m →
78 951 m²		 S 23.072152°
E 29.336242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581485748291016 y=0.565891265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581485748291016 × 217)
    floor (0.581485748291016 × 131072)
    floor (76216.5)     		tx = 76216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565891265869141 × 217)
    floor (0.565891265869141 × 131072)
    floor (74172.5)     		ty = 74172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76216 / 74172 ti = "17/76216/74172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76216/74172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76216 ÷ 217
    76216 ÷ 131072     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74172 ÷ 217
    74172 ÷ 131072     		y = 0.565887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.13177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.413983065118805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413983065118805))-π/2
    2×atan(0.661012145333277)-π/2
    2×0.58407771193368-π/2
    1.16815542386736-1.57079632675     		φ = -0.40264090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40264090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.069624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76216 KachelY 74172 0.51196609 -0.40264090 29.333496 -23.069624
    Oben rechts KachelX + 1 76217 KachelY 74172 0.51201402 -0.40264090 29.336242 -23.069624
    Unten links KachelX 76216 KachelY + 1 74173 0.51196609 -0.40268501 29.333496 -23.072152
    Unten rechts KachelX + 1 76217 KachelY + 1 74173 0.51201402 -0.40268501 29.336242 -23.072152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40264090--0.40268501) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40264090--0.40268501) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51201402) × cos(-0.40264090) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.920029368397804 × 6371000     		do = 280.942035593092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51201402) × cos(-0.40268501) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.920012083025222 × 6371000     		du = 280.936757296632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40264090)-sin(-0.40268501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920029368397804-0.920012083025222)×R²
    abs(0.51201402-0.51196609)×1.72853725821653e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.72853725821653e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.72853725821653e-05×40589641000000     		ar = 78950.9405202083m²