Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76211 / 73297
↖ ↑ ↗
← S 20.840845°
E 29.319763°		 ← 285.44 m → S 20.840845°
E 29.322510°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.843412°
E 29.319763°		 ← 285.44 m →
81 471 m²		 S 20.843412°
E 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581447601318359 y=0.559215545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581447601318359 × 217)
    floor (0.581447601318359 × 131072)
    floor (76211.5)     		tx = 76211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559215545654297 × 217)
    floor (0.559215545654297 × 131072)
    floor (73297.5)     		ty = 73297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76211 / 73297 ti = "17/76211/73297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76211/73297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76211 ÷ 217
    76211 ÷ 131072     		x = 0.581443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73297 ÷ 217
    73297 ÷ 131072     		y = 0.559211730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581443786621094 × 2 - 1) × π
    0.162887573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51172640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559211730957031 × 2 - 1) × π
    -0.118423461914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.372038277951256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51172640} λ = 0.51172640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372038277951256))-π/2
    2×atan(0.689327855961144)-π/2
    2×0.603527483881836-π/2
    1.20705496776367-1.57079632675     		φ = -0.36374136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51172640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.319763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36374136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.840845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76211 KachelY 73297 0.51172640 -0.36374136 29.319763 -20.840845
    Oben rechts KachelX + 1 76212 KachelY 73297 0.51177434 -0.36374136 29.322510 -20.840845
    Unten links KachelX 76211 KachelY + 1 73298 0.51172640 -0.36378616 29.319763 -20.843412
    Unten rechts KachelX + 1 76212 KachelY + 1 73298 0.51177434 -0.36378616 29.322510 -20.843412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36374136--0.36378616) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36374136--0.36378616) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51172640-0.51177434) × cos(-0.36374136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93457229179856 × 6371000     		do = 285.442433805884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51172640-0.51177434) × cos(-0.36378616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		du = 285.437565447533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36374136)-sin(-0.36378616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93457229179856-0.934556352217467)×R²
    abs(0.51177434-0.51172640)×1.59395810928054e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59395810928054e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59395810928054e-05×40589641000000     		ar = 81470.5130591785m²