Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76206 / 73234
↖ ↑ ↗
← S 20.679044°
E 29.306030°		 ← 285.75 m → S 20.679044°
E 29.308777°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.681614°
E 29.306030°		 ← 285.74 m →
81 649 m²		 S 20.681614°
E 29.308777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581409454345703 y=0.558734893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581409454345703 × 217)
    floor (0.581409454345703 × 131072)
    floor (76206.5)     		tx = 76206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558734893798828 × 217)
    floor (0.558734893798828 × 131072)
    floor (73234.5)     		ty = 73234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76206 / 73234 ti = "17/76206/73234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76206/73234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76206 ÷ 217
    76206 ÷ 131072     		x = 0.581405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73234 ÷ 217
    73234 ÷ 131072     		y = 0.558731079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581405639648438 × 2 - 1) × π
    0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558731079101562 × 2 - 1) × π
    -0.117462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.369018253275192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51148672} λ = 0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369018253275192))-π/2
    2×atan(0.691412789787201)-π/2
    2×0.604939456105375-π/2
    1.20987891221075-1.57079632675     		φ = -0.36091741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36091741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.679044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76206 KachelY 73234 0.51148672 -0.36091741 29.306030 -20.679044
    Oben rechts KachelX + 1 76207 KachelY 73234 0.51153466 -0.36091741 29.308777 -20.679044
    Unten links KachelX 76206 KachelY + 1 73235 0.51148672 -0.36096226 29.306030 -20.681614
    Unten rechts KachelX + 1 76207 KachelY + 1 73235 0.51153466 -0.36096226 29.308777 -20.681614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36091741--0.36096226) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36091741--0.36096226) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51148672-0.51153466) × cos(-0.36091741) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935573249974327 × 6371000     		do = 285.748152198088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51148672-0.51153466) × cos(-0.36096226) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935557411032402 × 6371000     		du = 285.74331457753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36091741)-sin(-0.36096226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935573249974327-0.935557411032402)×R²
    abs(0.51153466-0.51148672)×1.58389419258054e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58389419258054e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58389419258054e-05×40589641000000     		ar = 81648.8001371024m²