Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76203 / 73231
↖ ↑ ↗
← S 20.671336°
E 29.297791°		 ← 285.76 m → S 20.671336°
E 29.300537°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.673905°
E 29.297791°		 ← 285.76 m →
81 653 m²		 S 20.673905°
E 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581386566162109 y=0.558712005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581386566162109 × 217)
    floor (0.581386566162109 × 131072)
    floor (76203.5)     		tx = 76203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558712005615234 × 217)
    floor (0.558712005615234 × 131072)
    floor (73231.5)     		ty = 73231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76203 / 73231 ti = "17/76203/73231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76203/73231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76203 ÷ 217
    76203 ÷ 131072     		x = 0.581382751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73231 ÷ 217
    73231 ÷ 131072     		y = 0.558708190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581382751464844 × 2 - 1) × π
    0.162765502929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51134291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558708190917969 × 2 - 1) × π
    -0.117416381835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.368874442576332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51134291} λ = 0.51134291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368874442576332))-π/2
    2×atan(0.691512229493777)-π/2
    2×0.605006730534739-π/2
    1.21001346106948-1.57079632675     		φ = -0.36078287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51134291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.297791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36078287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.671336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76203 KachelY 73231 0.51134291 -0.36078287 29.297791 -20.671336
    Oben rechts KachelX + 1 76204 KachelY 73231 0.51139085 -0.36078287 29.300537 -20.671336
    Unten links KachelX 76203 KachelY + 1 73232 0.51134291 -0.36082772 29.297791 -20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 76204 KachelY + 1 73232 0.51139085 -0.36082772 29.300537 -20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36078287--0.36082772) × R
    4.48500000000407e-05 × 6371000     		dl = 285.739350000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36078287--0.36082772) × R
    4.48500000000407e-05 × 6371000     		dr = 285.739350000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51134291-0.51139085) × cos(-0.36078287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935620751978349 × 6371000     		do = 285.762660532156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51134291-0.51139085) × cos(-0.36082772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 285.757824635865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36078287)-sin(-0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935620751978349-0.935604918681879)×R²
    abs(0.51139085-0.51134291)×1.58332964699248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58332964699248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58332964699248e-05×40589641000000     		ar = 81652.9459855047m²