Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76192 / 73262
↖ ↑ ↗
← S 20.750977°
E 29.267578°		 ← 285.61 m → S 20.750977°
E 29.270325°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 20.753545°
E 29.267578°		 ← 285.61 m →
81 574 m²		 S 20.753545°
E 29.270325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581302642822266 y=0.558948516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581302642822266 × 217)
    floor (0.581302642822266 × 131072)
    floor (76192.5)     		tx = 76192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558948516845703 × 217)
    floor (0.558948516845703 × 131072)
    floor (73262.5)     		ty = 73262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76192 / 73262 ti = "17/76192/73262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76192/73262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76192 ÷ 217
    76192 ÷ 131072     		x = 0.581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73262 ÷ 217
    73262 ÷ 131072     		y = 0.558944702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581298828125 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558944702148438 × 2 - 1) × π
    -0.117889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370360486464554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51081560} λ = 0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370360486464554))-π/2
    2×atan(0.690485375135798)-π/2
    2×0.604311726317274-π/2
    1.20862345263455-1.57079632675     		φ = -0.36217287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36217287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.750977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76192 KachelY 73262 0.51081560 -0.36217287 29.267578 -20.750977
    Oben rechts KachelX + 1 76193 KachelY 73262 0.51086354 -0.36217287 29.270325 -20.750977
    Unten links KachelX 76192 KachelY + 1 73263 0.51081560 -0.36221770 29.267578 -20.753545
    Unten rechts KachelX + 1 76193 KachelY + 1 73263 0.51086354 -0.36221770 29.270325 -20.753545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36217287--0.36221770) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36217287--0.36221770) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51081560-0.51086354) × cos(-0.36217287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93512916881307 × 6371000     		do = 285.612518380129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51081560-0.51086354) × cos(-0.36221770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935113284291385 × 6371000     		du = 285.607666838339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36217287)-sin(-0.36221770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93512916881307-0.935113284291385)×R²
    abs(0.51086354-0.51081560)×1.58845216847725e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58845216847725e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58845216847725e-05×40589641000000     		ar = 81573.6497912804m²