Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76167 / 73283
↖ ↑ ↗
← S 20.804904°
E 29.198914°		 ← 285.51 m → S 20.804904°
E 29.201660°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
S 20.807472°
E 29.198914°		 ← 285.51 m →
81 508 m²		 S 20.807472°
E 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581111907958984 y=0.559108734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581111907958984 × 217)
    floor (0.581111907958984 × 131072)
    floor (76167.5)     		tx = 76167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559108734130859 × 217)
    floor (0.559108734130859 × 131072)
    floor (73283.5)     		ty = 73283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76167 / 73283 ti = "17/76167/73283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76167/73283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76167 ÷ 217
    76167 ÷ 131072     		x = 0.581108093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73283 ÷ 217
    73283 ÷ 131072     		y = 0.559104919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581108093261719 × 2 - 1) × π
    0.162216186523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50961718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559104919433594 × 2 - 1) × π
    -0.118209838867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.371367161356575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50961718} λ = 0.50961718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371367161356575))-π/2
    2×atan(0.689790630594954)-π/2
    2×0.603841124790166-π/2
    1.20768224958033-1.57079632675     		φ = -0.36311408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50961718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.198914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36311408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.804904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76167 KachelY 73283 0.50961718 -0.36311408 29.198914 -20.804904
    Oben rechts KachelX + 1 76168 KachelY 73283 0.50966512 -0.36311408 29.201660 -20.804904
    Unten links KachelX 76167 KachelY + 1 73284 0.50961718 -0.36315889 29.198914 -20.807472
    Unten rechts KachelX + 1 76168 KachelY + 1 73284 0.50966512 -0.36315889 29.201660 -20.807472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36311408--0.36315889) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36311408--0.36315889) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50961718-0.50966512) × cos(-0.36311408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934795277383254 × 6371000     		do = 285.510539343098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50961718-0.50966512) × cos(-0.36315889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934779360516268 × 6371000     		du = 285.505677922221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36311408)-sin(-0.36315889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934795277383254-0.934779360516268)×R²
    abs(0.50966512-0.50961718)×1.59168669859877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59168669859877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59168669859877e-05×40589641000000     		ar = 81508.1425076833m²