Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76149 / 73306
↖ ↑ ↗
← S 20.863945°
E 29.149475°		 ← 285.34 m → S 20.863945°
E 29.152222°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.866512°
E 29.149475°		 ← 285.33 m →
81 441 m²		 S 20.866512°
E 29.152222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580974578857422 y=0.559284210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580974578857422 × 217)
    floor (0.580974578857422 × 131072)
    floor (76149.5)     		tx = 76149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559284210205078 × 217)
    floor (0.559284210205078 × 131072)
    floor (73306.5)     		ty = 73306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76149 / 73306 ti = "17/76149/73306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76149/73306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76149 ÷ 217
    76149 ÷ 131072     		x = 0.580970764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73306 ÷ 217
    73306 ÷ 131072     		y = 0.559280395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580970764160156 × 2 - 1) × π
    0.161941528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50875432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559280395507812 × 2 - 1) × π
    -0.118560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.372469710047836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50875432} λ = 0.50875432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372469710047836))-π/2
    2×atan(0.689030521943347)-π/2
    2×0.603325897116971-π/2
    1.20665179423394-1.57079632675     		φ = -0.36414453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50875432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.149475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36414453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.863945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76149 KachelY 73306 0.50875432 -0.36414453 29.149475 -20.863945
    Oben rechts KachelX + 1 76150 KachelY 73306 0.50880225 -0.36414453 29.152222 -20.863945
    Unten links KachelX 76149 KachelY + 1 73307 0.50875432 -0.36418933 29.149475 -20.866512
    Unten rechts KachelX + 1 76150 KachelY + 1 73307 0.50880225 -0.36418933 29.152222 -20.866512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36414453--0.36418933) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dl = 285.42079999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36414453--0.36418933) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dr = 285.42079999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50875432-0.50880225) × cos(-0.36414453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934428778731003 × 6371000     		do = 285.339068763894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50875432-0.50880225) × cos(-0.36418933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93441282227109 × 6371000     		du = 285.334196266904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36414453)-sin(-0.36418933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934428778731003-0.93441282227109)×R²
    abs(0.50880225-0.50875432)×1.59564599125916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59564599125916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59564599125916e-05×40589641000000     		ar = 81441.0099353808m²