Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76148 / 73301
↖ ↑ ↗
← S 20.851112°
E 29.146729°		 ← 285.42 m → S 20.851112°
E 29.149475°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.853678°
E 29.146729°		 ← 285.42 m →
81 465 m²		 S 20.853678°
E 29.149475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580966949462891 y=0.559246063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580966949462891 × 217)
    floor (0.580966949462891 × 131072)
    floor (76148.5)     		tx = 76148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559246063232422 × 217)
    floor (0.559246063232422 × 131072)
    floor (73301.5)     		ty = 73301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76148 / 73301 ti = "17/76148/73301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76148/73301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76148 ÷ 217
    76148 ÷ 131072     		x = 0.580963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73301 ÷ 217
    73301 ÷ 131072     		y = 0.559242248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580963134765625 × 2 - 1) × π
    0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559242248535156 × 2 - 1) × π
    -0.118484497070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.372230025549736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50870638} λ = 0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372230025549736))-π/2
    2×atan(0.689195691671695)-π/2
    2×0.603437885942165-π/2
    1.20687577188433-1.57079632675     		φ = -0.36392055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36392055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.851112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76148 KachelY 73301 0.50870638 -0.36392055 29.146729 -20.851112
    Oben rechts KachelX + 1 76149 KachelY 73301 0.50875432 -0.36392055 29.149475 -20.851112
    Unten links KachelX 76148 KachelY + 1 73302 0.50870638 -0.36396535 29.146729 -20.853678
    Unten rechts KachelX + 1 76149 KachelY + 1 73302 0.50875432 -0.36396535 29.149475 -20.853678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36392055--0.36396535) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36392055--0.36396535) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50870638-0.50875432) × cos(-0.36392055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934508525779572 × 6371000     		do = 285.422958022348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50870638-0.50875432) × cos(-0.36396535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934492578696322 × 6371000     		du = 285.418087372645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36392055)-sin(-0.36396535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934508525779572-0.934492578696322)×R²
    abs(0.50875432-0.50870638)×1.59470832501452e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59470832501452e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59470832501452e-05×40589641000000     		ar = 81464.9539384048m²