Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76147 / 73339
↖ ↑ ↗
← S 20.948615°
E 29.143982°		 ← 285.24 m → S 20.948615°
E 29.146729°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
S 20.951180°
E 29.143982°		 ← 285.23 m →
81 339 m²		 S 20.951180°
E 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580959320068359 y=0.559535980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580959320068359 × 217)
    floor (0.580959320068359 × 131072)
    floor (76147.5)     		tx = 76147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559535980224609 × 217)
    floor (0.559535980224609 × 131072)
    floor (73339.5)     		ty = 73339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76147 / 73339 ti = "17/76147/73339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76147/73339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76147 ÷ 217
    76147 ÷ 131072     		x = 0.580955505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73339 ÷ 217
    73339 ÷ 131072     		y = 0.559532165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580955505371094 × 2 - 1) × π
    0.161911010742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.50865844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559532165527344 × 2 - 1) × π
    -0.119064331054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.374051627735298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50865844} λ = 0.50865844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.374051627735298))-π/2
    2×atan(0.687941394055943)-π/2
    2×0.602587010844195-π/2
    1.20517402168839-1.57079632675     		φ = -0.36562231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50865844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.143982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36562231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.948615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76147 KachelY 73339 0.50865844 -0.36562231 29.143982 -20.948615
    Oben rechts KachelX + 1 76148 KachelY 73339 0.50870638 -0.36562231 29.146729 -20.948615
    Unten links KachelX 76147 KachelY + 1 73340 0.50865844 -0.36566707 29.143982 -20.951180
    Unten rechts KachelX + 1 76148 KachelY + 1 73340 0.50870638 -0.36566707 29.146729 -20.951180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36562231--0.36566707) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dl = 285.165959999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36562231--0.36566707) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dr = 285.165959999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50865844-0.50870638) × cos(-0.36562231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933901447184639 × 6371000     		do = 285.237540593252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50865844-0.50870638) × cos(-0.36566707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933885443182164 × 6371000     		du = 285.232652558953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36562231)-sin(-0.36566707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933901447184639-0.933885443182164)×R²
    abs(0.50870638-0.50865844)×1.60040024755892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60040024755892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60040024755892e-05×40589641000000     		ar = 81339.3401543358m²