Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76146 / 73337
↖ ↑ ↗
← S 20.943485°
E 29.141235°		 ← 285.25 m → S 20.943485°
E 29.143982°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
S 20.946050°
E 29.141235°		 ← 285.24 m →
81 360 m²		 S 20.946050°
E 29.143982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580951690673828 y=0.559520721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580951690673828 × 217)
    floor (0.580951690673828 × 131072)
    floor (76146.5)     		tx = 76146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559520721435547 × 217)
    floor (0.559520721435547 × 131072)
    floor (73337.5)     		ty = 73337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76146 / 73337 ti = "17/76146/73337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76146/73337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76146 ÷ 217
    76146 ÷ 131072     		x = 0.580947875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73337 ÷ 217
    73337 ÷ 131072     		y = 0.559516906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580947875976562 × 2 - 1) × π
    0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559516906738281 × 2 - 1) × π
    -0.119033813476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.373955753936058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50861050} λ = 0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373955753936058))-π/2
    2×atan(0.688007352772852)-π/2
    2×0.602631779951437-π/2
    1.20526355990287-1.57079632675     		φ = -0.36553277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36553277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.943485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76146 KachelY 73337 0.50861050 -0.36553277 29.141235 -20.943485
    Oben rechts KachelX + 1 76147 KachelY 73337 0.50865844 -0.36553277 29.143982 -20.943485
    Unten links KachelX 76146 KachelY + 1 73338 0.50861050 -0.36557754 29.141235 -20.946050
    Unten rechts KachelX + 1 76147 KachelY + 1 73338 0.50865844 -0.36557754 29.143982 -20.946050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36553277--0.36557754) × R
    4.47699999999718e-05 × 6371000     		dl = 285.22966999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36553277--0.36557754) × R
    4.47699999999718e-05 × 6371000     		dr = 285.22966999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50861050-0.50865844) × cos(-0.36553277) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.933933456725401 × 6371000     		do = 285.247317131587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50861050-0.50865844) × cos(-0.36557754) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93391745289097 × 6371000     		du = 285.242429148613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36553277)-sin(-0.36557754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933933456725401-0.93391745289097)×R²
    abs(0.50865844-0.50861050)×1.60038344307889e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.60038344307889e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.60038344307889e-05×40589641000000     		ar = 81360.3010484417m²