Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76145 / 73323
↖ ↑ ↗
← S 20.907569°
E 29.138489°		 ← 285.26 m → S 20.907569°
E 29.141235°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
S 20.910134°
E 29.138489°		 ← 285.25 m →
81 381 m²		 S 20.910134°
E 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580944061279297 y=0.559413909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580944061279297 × 217)
    floor (0.580944061279297 × 131072)
    floor (76145.5)     		tx = 76145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559413909912109 × 217)
    floor (0.559413909912109 × 131072)
    floor (73323.5)     		ty = 73323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76145 / 73323 ti = "17/76145/73323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76145/73323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76145 ÷ 217
    76145 ÷ 131072     		x = 0.580940246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73323 ÷ 217
    73323 ÷ 131072     		y = 0.559410095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580940246582031 × 2 - 1) × π
    0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559410095214844 × 2 - 1) × π
    -0.118820190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.373284637341377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50856257} λ = 0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373284637341377))-π/2
    2×atan(0.688469240897617)-π/2
    2×0.60294520664409-π/2
    1.20589041328818-1.57079632675     		φ = -0.36490591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36490591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.907569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76145 KachelY 73323 0.50856257 -0.36490591 29.138489 -20.907569
    Oben rechts KachelX + 1 76146 KachelY 73323 0.50861050 -0.36490591 29.141235 -20.907569
    Unten links KachelX 76145 KachelY + 1 73324 0.50856257 -0.36495069 29.138489 -20.910134
    Unten rechts KachelX + 1 76146 KachelY + 1 73324 0.50861050 -0.36495069 29.141235 -20.910134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36490591--0.36495069) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dl = 285.29338000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36490591--0.36495069) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dr = 285.29338000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(-0.36490591) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934157342388876 × 6371000     		do = 285.256182410786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(-0.36495069) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934141361198727 × 6371000     		du = 285.25130236212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36490591)-sin(-0.36495069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934157342388876-0.934141361198727)×R²
    abs(0.50861050-0.50856257)×1.59811901487839e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.59811901487839e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.59811901487839e-05×40589641000000     		ar = 81381.0043366314m²