Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76145 / 73304
↖ ↑ ↗
← S 20.858812°
E 29.138489°		 ← 285.35 m → S 20.858812°
E 29.141235°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.861378°
E 29.138489°		 ← 285.34 m →
81 444 m²		 S 20.861378°
E 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580944061279297 y=0.559268951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580944061279297 × 217)
    floor (0.580944061279297 × 131072)
    floor (76145.5)     		tx = 76145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559268951416016 × 217)
    floor (0.559268951416016 × 131072)
    floor (73304.5)     		ty = 73304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76145 / 73304 ti = "17/76145/73304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76145/73304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76145 ÷ 217
    76145 ÷ 131072     		x = 0.580940246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73304 ÷ 217
    73304 ÷ 131072     		y = 0.55926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580940246582031 × 2 - 1) × π
    0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.1185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.372373836248596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50856257} λ = 0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372373836248596))-π/2
    2×atan(0.689096585084089)-π/2
    2×0.603370691500193-π/2
    1.20674138300039-1.57079632675     		φ = -0.36405494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36405494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.858812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76145 KachelY 73304 0.50856257 -0.36405494 29.138489 -20.858812
    Oben rechts KachelX + 1 76146 KachelY 73304 0.50861050 -0.36405494 29.141235 -20.858812
    Unten links KachelX 76145 KachelY + 1 73305 0.50856257 -0.36409974 29.138489 -20.861378
    Unten rechts KachelX + 1 76146 KachelY + 1 73305 0.50861050 -0.36409974 29.141235 -20.861378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36405494--0.36409974) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36405494--0.36409974) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(-0.36405494) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934460682463825 × 6371000     		do = 285.348810951853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(-0.36409974) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934444729754398 × 6371000     		du = 285.343939600118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36405494)-sin(-0.36409974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934460682463825-0.934444729754398)×R²
    abs(0.50861050-0.50856257)×1.5952709427336e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5952709427336e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5952709427336e-05×40589641000000     		ar = 81443.7907219923m²