Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76145 / 73298
↖ ↑ ↗
← S 20.843412°
E 29.138489°		 ← 285.38 m → S 20.843412°
E 29.141235°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.845978°
E 29.138489°		 ← 285.37 m →
81 452 m²		 S 20.845978°
E 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580944061279297 y=0.559223175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580944061279297 × 217)
    floor (0.580944061279297 × 131072)
    floor (76145.5)     		tx = 76145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559223175048828 × 217)
    floor (0.559223175048828 × 131072)
    floor (73298.5)     		ty = 73298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76145 / 73298 ti = "17/76145/73298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76145/73298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76145 ÷ 217
    76145 ÷ 131072     		x = 0.580940246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73298 ÷ 217
    73298 ÷ 131072     		y = 0.559219360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580940246582031 × 2 - 1) × π
    0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559219360351562 × 2 - 1) × π
    -0.118438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.372086214850876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50856257} λ = 0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372086214850876))-π/2
    2×atan(0.689294812512914)-π/2
    2×0.603505083823779-π/2
    1.20701016764756-1.57079632675     		φ = -0.36378616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36378616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.843412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76145 KachelY 73298 0.50856257 -0.36378616 29.138489 -20.843412
    Oben rechts KachelX + 1 76146 KachelY 73298 0.50861050 -0.36378616 29.141235 -20.843412
    Unten links KachelX 76145 KachelY + 1 73299 0.50856257 -0.36383096 29.138489 -20.845978
    Unten rechts KachelX + 1 76146 KachelY + 1 73299 0.50861050 -0.36383096 29.141235 -20.845978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36378616--0.36383096) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dl = 285.42079999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36378616--0.36383096) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dr = 285.42079999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(-0.36378616) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		do = 285.378024862034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(-0.36383096) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934540410760682 × 6371000     		du = 285.373156946429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36378616)-sin(-0.36383096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934556352217467-0.934540410760682)×R²
    abs(0.50861050-0.50856257)×1.59414567847405e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.59414567847405e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.59414567847405e-05×40589641000000     		ar = 81452.1294698586m²