Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76144 / 73336
↖ ↑ ↗
← S 20.940920°
E 29.135742°		 ← 285.25 m → S 20.940920°
E 29.138489°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
S 20.943485°
E 29.135742°		 ← 285.25 m →
81 362 m²		 S 20.943485°
E 29.138489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580936431884766 y=0.559513092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580936431884766 × 217)
    floor (0.580936431884766 × 131072)
    floor (76144.5)     		tx = 76144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559513092041016 × 217)
    floor (0.559513092041016 × 131072)
    floor (73336.5)     		ty = 73336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76144 / 73336 ti = "17/76144/73336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76144/73336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76144 ÷ 217
    76144 ÷ 131072     		x = 0.5809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73336 ÷ 217
    73336 ÷ 131072     		y = 0.55950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5809326171875 × 2 - 1) × π
    0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55950927734375 × 2 - 1) × π
    -0.1190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50851463} λ = 0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373907817036438))-π/2
    2×atan(0.688040334502774)-π/2
    2×0.602654165080423-π/2
    1.20530833016085-1.57079632675     		φ = -0.36548800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36548800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.940920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76144 KachelY 73336 0.50851463 -0.36548800 29.135742 -20.940920
    Oben rechts KachelX + 1 76145 KachelY 73336 0.50856257 -0.36548800 29.138489 -20.940920
    Unten links KachelX 76144 KachelY + 1 73337 0.50851463 -0.36553277 29.135742 -20.943485
    Unten rechts KachelX + 1 76145 KachelY + 1 73337 0.50856257 -0.36553277 29.138489 -20.943485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36548800--0.36553277) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36548800--0.36553277) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50851463-0.50856257) × cos(-0.36548800) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.9339494586879 × 6371000     		do = 285.252204542825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50851463-0.50856257) × cos(-0.36553277) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.933933456725401 × 6371000     		du = 285.247317131587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36548800)-sin(-0.36553277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9339494586879-0.933933456725401)×R²
    abs(0.50856257-0.50851463)×1.60019624986241e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.60019624986241e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.60019624986241e-05×40589641000000     		ar = 81361.6951648291m²