Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76143 / 73295
↖ ↑ ↗
← S 20.835711°
E 29.132995°		 ← 285.45 m → S 20.835711°
E 29.135742°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.838278°
E 29.132995°		 ← 285.45 m →
81 473 m²		 S 20.838278°
E 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580928802490234 y=0.559200286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580928802490234 × 217)
    floor (0.580928802490234 × 131072)
    floor (76143.5)     		tx = 76143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559200286865234 × 217)
    floor (0.559200286865234 × 131072)
    floor (73295.5)     		ty = 73295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76143 / 73295 ti = "17/76143/73295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76143/73295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76143 ÷ 217
    76143 ÷ 131072     		x = 0.580924987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73295 ÷ 217
    73295 ÷ 131072     		y = 0.559196472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580924987792969 × 2 - 1) × π
    0.161849975585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50846669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559196472167969 × 2 - 1) × π
    -0.118392944335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.371942404152016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50846669} λ = 0.50846669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371942404152016))-π/2
    2×atan(0.689393947609795)-π/2
    2×0.603572285143999-π/2
    1.207144570288-1.57079632675     		φ = -0.36365176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50846669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.132995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36365176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.835711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76143 KachelY 73295 0.50846669 -0.36365176 29.132995 -20.835711
    Oben rechts KachelX + 1 76144 KachelY 73295 0.50851463 -0.36365176 29.135742 -20.835711
    Unten links KachelX 76143 KachelY + 1 73296 0.50846669 -0.36369656 29.132995 -20.838278
    Unten rechts KachelX + 1 76144 KachelY + 1 73296 0.50851463 -0.36369656 29.135742 -20.838278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36365176--0.36369656) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36365176--0.36369656) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50846669-0.50851463) × cos(-0.36365176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934604165333541 × 6371000     		do = 285.452168803892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50846669-0.50851463) × cos(-0.36369656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934588229503929 × 6371000     		du = 285.44730159134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36365176)-sin(-0.36369656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934604165333541-0.934588229503929)×R²
    abs(0.50851463-0.50846669)×1.59358296129009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59358296129009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59358296129009e-05×40589641000000     		ar = 81473.2917935568m²