Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76139 / 73321
↖ ↑ ↗
← S 20.902437°
E 29.122009°		 ← 285.27 m → S 20.902437°
E 29.124756°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
S 20.905003°
E 29.122009°		 ← 285.26 m →
81 384 m²		 S 20.905003°
E 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580898284912109 y=0.559398651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580898284912109 × 217)
    floor (0.580898284912109 × 131072)
    floor (76139.5)     		tx = 76139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559398651123047 × 217)
    floor (0.559398651123047 × 131072)
    floor (73321.5)     		ty = 73321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76139 / 73321 ti = "17/76139/73321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76139/73321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76139 ÷ 217
    76139 ÷ 131072     		x = 0.580894470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73321 ÷ 217
    73321 ÷ 131072     		y = 0.559394836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580894470214844 × 2 - 1) × π
    0.161788940429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50827495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559394836425781 × 2 - 1) × π
    -0.118789672851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.373188763542137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50827495} λ = 0.50827495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373188763542137))-π/2
    2×atan(0.688535250223633)-π/2
    2×0.602989988016785-π/2
    1.20597997603357-1.57079632675     		φ = -0.36481635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50827495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.122009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36481635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.902437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76139 KachelY 73321 0.50827495 -0.36481635 29.122009 -20.902437
    Oben rechts KachelX + 1 76140 KachelY 73321 0.50832288 -0.36481635 29.124756 -20.902437
    Unten links KachelX 76139 KachelY + 1 73322 0.50827495 -0.36486113 29.122009 -20.905003
    Unten rechts KachelX + 1 76140 KachelY + 1 73322 0.50832288 -0.36486113 29.124756 -20.905003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36481635--0.36486113) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36481635--0.36486113) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50827495-0.50832288) × cos(-0.36481635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934189299149489 × 6371000     		do = 285.26594079274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50827495-0.50832288) × cos(-0.36486113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934173321705807 × 6371000     		du = 285.261061888103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36481635)-sin(-0.36486113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934189299149489-0.934173321705807)×R²
    abs(0.50832288-0.50827495)×1.59774436817584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59774436817584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59774436817584e-05×40589641000000     		ar = 81383.7885015897m²