Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76138 / 73309
↖ ↑ ↗
← S 20.871644°
E 29.119263°		 ← 285.38 m → S 20.871644°
E 29.122009°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.874210°
E 29.119263°		 ← 285.38 m →
81 436 m²		 S 20.874210°
E 29.122009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580890655517578 y=0.559307098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580890655517578 × 217)
    floor (0.580890655517578 × 131072)
    floor (76138.5)     		tx = 76138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559307098388672 × 217)
    floor (0.559307098388672 × 131072)
    floor (73309.5)     		ty = 73309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76138 / 73309 ti = "17/76138/73309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76138/73309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76138 ÷ 217
    76138 ÷ 131072     		x = 0.580886840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73309 ÷ 217
    73309 ÷ 131072     		y = 0.559303283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580886840820312 × 2 - 1) × π
    0.161773681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50822701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559303283691406 × 2 - 1) × π
    -0.118606567382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.372613520746696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50822701} λ = 0.50822701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372613520746696))-π/2
    2×atan(0.688931439107207)-π/2
    2×0.603258708410043-π/2
    1.20651741682009-1.57079632675     		φ = -0.36427891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50822701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.119263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36427891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.871644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76138 KachelY 73309 0.50822701 -0.36427891 29.119263 -20.871644
    Oben rechts KachelX + 1 76139 KachelY 73309 0.50827495 -0.36427891 29.122009 -20.871644
    Unten links KachelX 76138 KachelY + 1 73310 0.50822701 -0.36432370 29.119263 -20.874210
    Unten rechts KachelX + 1 76139 KachelY + 1 73310 0.50827495 -0.36432370 29.122009 -20.874210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36427891--0.36432370) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dl = 285.357089999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36427891--0.36432370) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dr = 285.357089999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50822701-0.50827495) × cos(-0.36427891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934380910850598 × 6371000     		do = 285.383981138231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50822701-0.50827495) × cos(-0.36432370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934364952328581 × 6371000     		du = 285.379106994835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36427891)-sin(-0.36432370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934380910850598-0.934364952328581)×R²
    abs(0.50827495-0.50822701)×1.59585220164127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59585220164127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59585220164127e-05×40589641000000     		ar = 81435.6469680277m²