Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7551 / 11200
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 14.084473°		 ← 1 402.15 m → S 54.977613°
W 14.062500°		 →
↑
1 402 m
↓
↑
1 402 m
↓
S 54.990222°
W 14.084473°		 ← 1 401.71 m →
1 965 512 m²		 S 54.990222°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460906982421875 y=0.683624267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460906982421875 × 214)
    floor (0.460906982421875 × 16384)
    floor (7551.5)     		tx = 7551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683624267578125 × 214)
    floor (0.683624267578125 × 16384)
    floor (11200.5)     		ty = 11200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7551 / 11200 ti = "14/7551/11200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7551/11200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7551 ÷ 214
    7551 ÷ 16384     		x = 0.46087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11200 ÷ 214
    11200 ÷ 16384     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24582042} λ = -0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7551 KachelY 11200 -0.24582042 -0.95954037 -14.084473 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 7552 KachelY 11200 -0.24543693 -0.95954037 -14.062500 -54.977613
    Unten links KachelX 7551 KachelY + 1 11201 -0.24582042 -0.95976043 -14.084473 -54.990222
    Unten rechts KachelX + 1 7552 KachelY + 1 11201 -0.24543693 -0.95976043 -14.062500 -54.990222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.95976043) × R
    0.000220059999999966 × 6371000     		dl = 1402.00225999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.95976043) × R
    0.000220059999999966 × 6371000     		dr = 1402.00225999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24582042--0.24543693) × cos(-0.95954037) × R
    0.000383490000000014 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 1402.15229578746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24582042--0.24543693) × cos(-0.95976043) × R
    0.000383490000000014 × 0.573716223336356 × 6371000     		du = 1401.71196211838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.95976043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.573716223336356)×R²
    abs(-0.24543693--0.24582042)×0.000180227162541846×R²
    0.000383490000000014×0.000180227162541846×6371000²
    0.000383490000000014×0.000180227162541846×40589641000000     		ar = 1965512.02108968m²