Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75347 / 73300
↖ ↑ ↗
← S 20.848545°
E 26.946716°		 ← 285.43 m → S 20.848545°
E 26.949463°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.851112°
E 26.946716°		 ← 285.42 m →
81 448 m²		 S 20.851112°
E 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574855804443359 y=0.559238433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574855804443359 × 217)
    floor (0.574855804443359 × 131072)
    floor (75347.5)     		tx = 75347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559238433837891 × 217)
    floor (0.559238433837891 × 131072)
    floor (73300.5)     		ty = 73300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75347 / 73300 ti = "17/75347/73300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75347/73300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75347 ÷ 217
    75347 ÷ 131072     		x = 0.574851989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73300 ÷ 217
    73300 ÷ 131072     		y = 0.559234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574851989746094 × 2 - 1) × π
    0.149703979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47030892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.11846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.372182088650116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47030892} λ = 0.47030892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372182088650116))-π/2
    2×atan(0.689228730368266)-π/2
    2×0.603460284853905-π/2
    1.20692056970781-1.57079632675     		φ = -0.36387576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47030892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.946716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36387576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.848545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75347 KachelY 73300 0.47030892 -0.36387576 26.946716 -20.848545
    Oben rechts KachelX + 1 75348 KachelY 73300 0.47035686 -0.36387576 26.949463 -20.848545
    Unten links KachelX 75347 KachelY + 1 73301 0.47030892 -0.36392055 26.946716 -20.851112
    Unten rechts KachelX + 1 75348 KachelY + 1 73301 0.47035686 -0.36392055 26.949463 -20.851112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36387576--0.36392055) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36387576--0.36392055) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47030892-0.47035686) × cos(-0.36387576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934524467428237 × 6371000     		do = 285.427827012188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47030892-0.47035686) × cos(-0.36392055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934508525779572 × 6371000     		du = 285.422958022348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36387576)-sin(-0.36392055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934524467428237-0.934508525779572)×R²
    abs(0.47035686-0.47030892)×1.59416486652519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59416486652519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59416486652519e-05×40589641000000     		ar = 81448.159434412m²