Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75344 / 73264
↖ ↑ ↗
← S 20.756114°
E 26.938476°		 ← 285.60 m → S 20.756114°
E 26.941223°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 20.758682°
E 26.938476°		 ← 285.60 m →
81 553 m²		 S 20.758682°
E 26.941223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574832916259766 y=0.558963775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574832916259766 × 217)
    floor (0.574832916259766 × 131072)
    floor (75344.5)     		tx = 75344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558963775634766 × 217)
    floor (0.558963775634766 × 131072)
    floor (73264.5)     		ty = 73264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75344 / 73264 ti = "17/75344/73264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75344/73264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75344 ÷ 217
    75344 ÷ 131072     		x = 0.5748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73264 ÷ 217
    73264 ÷ 131072     		y = 0.5589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5748291015625 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    -0.117919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370456360263794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47016511} λ = 0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370456360263794))-π/2
    2×atan(0.690419178852859)-π/2
    2×0.604266899885661-π/2
    1.20853379977132-1.57079632675     		φ = -0.36226253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36226253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.756114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75344 KachelY 73264 0.47016511 -0.36226253 26.938476 -20.756114
    Oben rechts KachelX + 1 75345 KachelY 73264 0.47021305 -0.36226253 26.941223 -20.756114
    Unten links KachelX 75344 KachelY + 1 73265 0.47016511 -0.36230735 26.938476 -20.758682
    Unten rechts KachelX + 1 75345 KachelY + 1 73265 0.47021305 -0.36230735 26.941223 -20.758682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36226253--0.36230735) × R
    4.48199999999455e-05 × 6371000     		dl = 285.548219999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36226253--0.36230735) × R
    4.48199999999455e-05 × 6371000     		dr = 285.548219999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47016511-0.47021305) × cos(-0.36226253) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935097397890376 × 6371000     		do = 285.602814722886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47016511-0.47021305) × cos(-0.36230735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935081513154402 × 6371000     		du = 285.597963115647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36226253)-sin(-0.36230735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935097397890376-0.935081513154402)×R²
    abs(0.47021305-0.47016511)×1.58847359736924e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58847359736924e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58847359736924e-05×40589641000000     		ar = 81552.6827008268m²