Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75265 / 73215
↖ ↑ ↗
← S 20.630214°
E 26.721497°		 ← 285.78 m → S 20.630214°
E 26.724243°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.632784°
E 26.721497°		 ← 285.78 m →
81 676 m²		 S 20.632784°
E 26.724243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574230194091797 y=0.558589935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574230194091797 × 217)
    floor (0.574230194091797 × 131072)
    floor (75265.5)     		tx = 75265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558589935302734 × 217)
    floor (0.558589935302734 × 131072)
    floor (73215.5)     		ty = 73215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75265 / 73215 ti = "17/75265/73215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75265/73215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75265 ÷ 217
    75265 ÷ 131072     		x = 0.574226379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73215 ÷ 217
    73215 ÷ 131072     		y = 0.558586120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574226379394531 × 2 - 1) × π
    0.148452758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46637810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558586120605469 × 2 - 1) × π
    -0.117172241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.368107452182411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46637810} λ = 0.46637810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368107452182411))-π/2
    2×atan(0.692042816182513)-π/2
    2×0.605365585147335-π/2
    1.21073117029467-1.57079632675     		φ = -0.36006516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46637810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.721497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36006516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.630214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75265 KachelY 73215 0.46637810 -0.36006516 26.721497 -20.630214
    Oben rechts KachelX + 1 75266 KachelY 73215 0.46642603 -0.36006516 26.724243 -20.630214
    Unten links KachelX 75265 KachelY + 1 73216 0.46637810 -0.36011002 26.721497 -20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 75266 KachelY + 1 73216 0.46642603 -0.36011002 26.724243 -20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36006516--0.36011002) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36006516--0.36011002) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46637810-0.46642603) × cos(-0.36006516) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935873867502084 × 6371000     		do = 285.780344004231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46637810-0.46642603) × cos(-0.36011002) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 285.775517238399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36006516)-sin(-0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935873867502084-0.935858060802633)×R²
    abs(0.46642603-0.46637810)×1.58066994503381e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58066994503381e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58066994503381e-05×40589641000000     		ar = 81676.2070657124m²