Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75202 / 73411
↖ ↑ ↗
← S 21.133183°
E 26.548462°		 ← 284.88 m → S 21.133183°
E 26.551209°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
S 21.135745°
E 26.548462°		 ← 284.88 m →
81 148 m²		 S 21.135745°
E 26.551209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573749542236328 y=0.560085296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573749542236328 × 217)
    floor (0.573749542236328 × 131072)
    floor (75202.5)     		tx = 75202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560085296630859 × 217)
    floor (0.560085296630859 × 131072)
    floor (73411.5)     		ty = 73411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75202 / 73411 ti = "17/75202/73411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75202/73411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75202 ÷ 217
    75202 ÷ 131072     		x = 0.573745727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73411 ÷ 217
    73411 ÷ 131072     		y = 0.560081481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573745727539062 × 2 - 1) × π
    0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560081481933594 × 2 - 1) × π
    -0.120162963867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.377503084507942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46335807} λ = 0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.377503084507942))-π/2
    2×atan(0.685571086931569)-π/2
    2×0.600976347376661-π/2
    1.20195269475332-1.57079632675     		φ = -0.36884363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36884363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.133183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75202 KachelY 73411 0.46335807 -0.36884363 26.548462 -21.133183
    Oben rechts KachelX + 1 75203 KachelY 73411 0.46340601 -0.36884363 26.551209 -21.133183
    Unten links KachelX 75202 KachelY + 1 73412 0.46335807 -0.36888834 26.548462 -21.135745
    Unten rechts KachelX + 1 75203 KachelY + 1 73412 0.46340601 -0.36888834 26.551209 -21.135745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36884363--0.36888834) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36884363--0.36888834) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46335807-0.46340601) × cos(-0.36884363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932744883399835 × 6371000     		do = 284.884296243421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46335807-0.46340601) × cos(-0.36888834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932728762854943 × 6371000     		du = 284.879372614069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36884363)-sin(-0.36888834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932744883399835-0.932728762854943)×R²
    abs(0.46340601-0.46335807)×1.61205448915291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61205448915291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61205448915291e-05×40589641000000     		ar = 81147.8527066544m²