Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7498 / 10895
↖ ↑ ↗
← S 50.944584°
W 15.249024°		 ← 1 539.44 m → S 50.944584°
W 15.227051°		 →
↑
1 539.23 m
↓
↑
1 539.23 m
↓
S 50.958427°
W 15.249024°		 ← 1 538.98 m →
2 369 206 m²		 S 50.958427°
W 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457672119140625 y=0.665008544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457672119140625 × 214)
    floor (0.457672119140625 × 16384)
    floor (7498.5)     		tx = 7498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665008544921875 × 214)
    floor (0.665008544921875 × 16384)
    floor (10895.5)     		ty = 10895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7498 / 10895 ti = "14/7498/10895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7498/10895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7498 ÷ 214
    7498 ÷ 16384     		x = 0.4576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10895 ÷ 214
    10895 ÷ 16384     		y = 0.66497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.3299560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03658751738409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26614567} λ = -0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03658751738409))-π/2
    2×atan(0.354662900255964)-π/2
    2×0.340822796181715-π/2
    0.68164559236343-1.57079632675     		φ = -0.88915073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88915073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.944584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7498 KachelY 10895 -0.26614567 -0.88915073 -15.249024 -50.944584
    Oben rechts KachelX + 1 7499 KachelY 10895 -0.26576217 -0.88915073 -15.227051 -50.944584
    Unten links KachelX 7498 KachelY + 1 10896 -0.26614567 -0.88939233 -15.249024 -50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 7499 KachelY + 1 10896 -0.26576217 -0.88939233 -15.227051 -50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88915073--0.88939233) × R
    0.000241599999999953 × 6371000     		dl = 1539.2335999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88915073--0.88939233) × R
    0.000241599999999953 × 6371000     		dr = 1539.2335999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26614567--0.26576217) × cos(-0.88915073) × R
    0.000383499999999981 × 0.630071743232689 × 6371000     		do = 1539.44074369787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26614567--0.26576217) × cos(-0.88939233) × R
    0.000383499999999981 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 1538.98231206523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88915073)-sin(-0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630071743232689-0.629884113524226)×R²
    abs(-0.26576217--0.26614567)×0.000187629708462422×R²
    0.000383499999999981×0.000187629708462422×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187629708462422×40589641000000     		ar = 2369206.11274672m²