Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7440 / 11186
↖ ↑ ↗
← S 54.800685°
W 16.523438°		 ← 1 408.36 m → S 54.800685°
W 16.501465°		 →
↑
1 408.12 m
↓
↑
1 408.12 m
↓
S 54.813348°
W 16.523438°		 ← 1 407.92 m →
1 982 828 m²		 S 54.813348°
W 16.501465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454132080078125 y=0.682769775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454132080078125 × 214)
    floor (0.454132080078125 × 16384)
    floor (7440.5)     		tx = 7440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682769775390625 × 214)
    floor (0.682769775390625 × 16384)
    floor (11186.5)     		ty = 11186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7440 / 11186 ti = "14/7440/11186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7440/11186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7440 ÷ 214
    7440 ÷ 16384     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11186 ÷ 214
    11186 ÷ 16384     		y = 0.6827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14818461969959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14818461969959))-π/2
    2×atan(0.317212107603403)-π/2
    2×0.307171971765603-π/2
    0.614343943531207-1.57079632675     		φ = -0.95645238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95645238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.800685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7440 KachelY 11186 -0.28838839 -0.95645238 -16.523438 -54.800685
    Oben rechts KachelX + 1 7441 KachelY 11186 -0.28800489 -0.95645238 -16.501465 -54.800685
    Unten links KachelX 7440 KachelY + 1 11187 -0.28838839 -0.95667340 -16.523438 -54.813348
    Unten rechts KachelX + 1 7441 KachelY + 1 11187 -0.28800489 -0.95667340 -16.501465 -54.813348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95645238--0.95667340) × R
    0.000221020000000016 × 6371000     		dl = 1408.1184200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95645238--0.95667340) × R
    0.000221020000000016 × 6371000     		dr = 1408.1184200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28800489) × cos(-0.95645238) × R
    0.000383499999999981 × 0.576422551323008 × 6371000     		do = 1408.36082656258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28800489) × cos(-0.95667340) × R
    0.000383499999999981 × 0.576241930357531 × 6371000     		du = 1407.91951924098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95645238)-sin(-0.95667340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576422551323008-0.576241930357531)×R²
    abs(-0.28800489--0.28838839)×0.00018062096547633×R²
    0.000383499999999981×0.00018062096547633×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018062096547633×40589641000000     		ar = 1982828.12347681m²