Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74374 / 74375
↖ ↑ ↗
← S 23.581609°
E 24.274292°		 ← 279.92 m → S 23.581609°
E 24.277039°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 23.584126°
E 24.274292°		 ← 279.91 m →
78 343 m²		 S 23.584126°
E 24.277039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567432403564453 y=0.567440032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567432403564453 × 217)
    floor (0.567432403564453 × 131072)
    floor (74374.5)     		tx = 74374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567440032958984 × 217)
    floor (0.567440032958984 × 131072)
    floor (74375.5)     		ty = 74375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74374 / 74375 ti = "17/74374/74375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74374/74375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74374 ÷ 217
    74374 ÷ 131072     		x = 0.567428588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74375 ÷ 217
    74375 ÷ 131072     		y = 0.567436218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567428588867188 × 2 - 1) × π
    0.134857177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42366632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567436218261719 × 2 - 1) × π
    -0.134872436523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.423714255741676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42366632} λ = 0.42366632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423714255741676))-π/2
    2×atan(0.654610906494952)-π/2
    2×0.579609804827948-π/2
    1.1592196096559-1.57079632675     		φ = -0.41157672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42366632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.274292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41157672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.581609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74374 KachelY 74375 0.42366632 -0.41157672 24.274292 -23.581609
    Oben rechts KachelX + 1 74375 KachelY 74375 0.42371426 -0.41157672 24.277039 -23.581609
    Unten links KachelX 74374 KachelY + 1 74376 0.42366632 -0.41162065 24.274292 -23.584126
    Unten rechts KachelX + 1 74375 KachelY + 1 74376 0.42371426 -0.41162065 24.277039 -23.584126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41157672--0.41162065) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dl = 279.878029999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41157672--0.41162065) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dr = 279.878029999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42366632-0.42371426) × cos(-0.41157672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916491187775376 × 6371000     		do = 279.919999229914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42366632-0.42371426) × cos(-0.41162065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916473612480395 × 6371000     		du = 279.914631282438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41157672)-sin(-0.41162065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916491187775376-0.916473612480395)×R²
    abs(0.42371426-0.42366632)×1.75752949805874e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75752949805874e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75752949805874e-05×40589641000000     		ar = 78342.7067693464m²