Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74373 / 74377
↖ ↑ ↗
← S 23.586643°
E 24.271545°		 ← 279.91 m → S 23.586643°
E 24.274292°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 23.589160°
E 24.271545°		 ← 279.90 m →
78 340 m²		 S 23.589160°
E 24.274292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567424774169922 y=0.567455291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567424774169922 × 217)
    floor (0.567424774169922 × 131072)
    floor (74373.5)     		tx = 74373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567455291748047 × 217)
    floor (0.567455291748047 × 131072)
    floor (74377.5)     		ty = 74377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74373 / 74377 ti = "17/74373/74377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74373/74377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74373 ÷ 217
    74373 ÷ 131072     		x = 0.567420959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74377 ÷ 217
    74377 ÷ 131072     		y = 0.567451477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567420959472656 × 2 - 1) × π
    0.134841918945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42361838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567451477050781 × 2 - 1) × π
    -0.134902954101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.423810129540916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42361838} λ = 0.42361838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423810129540916))-π/2
    2×atan(0.654548149468748)-π/2
    2×0.579565871924403-π/2
    1.15913174384881-1.57079632675     		φ = -0.41166458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42361838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.271545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41166458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.586643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74373 KachelY 74377 0.42361838 -0.41166458 24.271545 -23.586643
    Oben rechts KachelX + 1 74374 KachelY 74377 0.42366632 -0.41166458 24.274292 -23.586643
    Unten links KachelX 74373 KachelY + 1 74378 0.42361838 -0.41170851 24.271545 -23.589160
    Unten rechts KachelX + 1 74374 KachelY + 1 74378 0.42366632 -0.41170851 24.274292 -23.589160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41166458--0.41170851) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41166458--0.41170851) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42361838-0.42366632) × cos(-0.41166458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916456035416762 × 6371000     		do = 279.909262794447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42361838-0.42366632) × cos(-0.41170851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916438456584512 × 6371000     		du = 279.903893766599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41166458)-sin(-0.41170851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916456035416762-0.916438456584512)×R²
    abs(0.42366632-0.42361838)×1.75788322505088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75788322505088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75788322505088e-05×40589641000000     		ar = 78339.7017259143m²