Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74370 / 74374
↖ ↑ ↗
← S 23.579091°
E 24.263306°		 ← 279.93 m → S 23.579091°
E 24.266052°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 23.581609°
E 24.263306°		 ← 279.92 m →
78 362 m²		 S 23.581609°
E 24.266052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567401885986328 y=0.567432403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567401885986328 × 217)
    floor (0.567401885986328 × 131072)
    floor (74370.5)     		tx = 74370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567432403564453 × 217)
    floor (0.567432403564453 × 131072)
    floor (74374.5)     		ty = 74374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74370 / 74374 ti = "17/74370/74374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74370/74374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74370 ÷ 217
    74370 ÷ 131072     		x = 0.567398071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74374 ÷ 217
    74374 ÷ 131072     		y = 0.567428588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567398071289062 × 2 - 1) × π
    0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567428588867188 × 2 - 1) × π
    -0.134857177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.423666318842056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42347457} λ = 0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423666318842056))-π/2
    2×atan(0.654642287264409)-π/2
    2×0.579631771911639-π/2
    1.15926354382328-1.57079632675     		φ = -0.41153278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41153278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.579091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74370 KachelY 74374 0.42347457 -0.41153278 24.263306 -23.579091
    Oben rechts KachelX + 1 74371 KachelY 74374 0.42352251 -0.41153278 24.266052 -23.579091
    Unten links KachelX 74370 KachelY + 1 74375 0.42347457 -0.41157672 24.263306 -23.581609
    Unten rechts KachelX + 1 74371 KachelY + 1 74375 0.42352251 -0.41157672 24.266052 -23.581609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41153278--0.41157672) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41153278--0.41157672) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42347457-0.42352251) × cos(-0.41153278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916508765301816 × 6371000     		do = 279.925367858934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42347457-0.42352251) × cos(-0.41157672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916491187775376 × 6371000     		du = 279.919999229914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41153278)-sin(-0.41157672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916508765301816-0.916491187775376)×R²
    abs(0.42352251-0.42347457)×1.75775264408262e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75775264408262e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75775264408262e-05×40589641000000     		ar = 78362.0431094905m²