Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74365 / 74379
↖ ↑ ↗
← S 23.591678°
E 24.249573°		 ← 279.84 m → S 23.591678°
E 24.252319°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 23.594195°
E 24.249573°		 ← 279.83 m →
78 320 m²		 S 23.594195°
E 24.252319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567363739013672 y=0.567470550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567363739013672 × 217)
    floor (0.567363739013672 × 131072)
    floor (74365.5)     		tx = 74365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567470550537109 × 217)
    floor (0.567470550537109 × 131072)
    floor (74379.5)     		ty = 74379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74365 / 74379 ti = "17/74365/74379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74365/74379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74365 ÷ 217
    74365 ÷ 131072     		x = 0.567359924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74379 ÷ 217
    74379 ÷ 131072     		y = 0.567466735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567359924316406 × 2 - 1) × π
    0.134719848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42323489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567466735839844 × 2 - 1) × π
    -0.134933471679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.423906003340157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42323489} λ = 0.42323489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423906003340157))-π/2
    2×atan(0.65448539845901)-π/2
    2×0.579521940706201-π/2
    1.1590438814124-1.57079632675     		φ = -0.41175245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42323489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.249573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41175245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.591678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74365 KachelY 74379 0.42323489 -0.41175245 24.249573 -23.591678
    Oben rechts KachelX + 1 74366 KachelY 74379 0.42328282 -0.41175245 24.252319 -23.591678
    Unten links KachelX 74365 KachelY + 1 74380 0.42323489 -0.41179638 24.249573 -23.594195
    Unten rechts KachelX + 1 74366 KachelY + 1 74380 0.42328282 -0.41179638 24.252319 -23.594195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41175245--0.41179638) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41175245--0.41179638) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42323489-0.42328282) × cos(-0.41175245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916420871981518 × 6371000     		do = 279.840137802818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42323489-0.42328282) × cos(-0.41179638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916403289611731 × 6371000     		du = 279.834768814687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41175245)-sin(-0.41179638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916420871981518-0.916403289611731)×R²
    abs(0.42328282-0.42323489)×1.75823697873279e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75823697873279e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75823697873279e-05×40589641000000     		ar = 78320.355164918m²