Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74364 / 74380
↖ ↑ ↗
← S 23.594195°
E 24.246826°		 ← 279.89 m → S 23.594195°
E 24.249573°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
S 23.596711°
E 24.246826°		 ← 279.89 m →
78 317 m²		 S 23.596711°
E 24.249573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567356109619141 y=0.567478179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567356109619141 × 217)
    floor (0.567356109619141 × 131072)
    floor (74364.5)     		tx = 74364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567478179931641 × 217)
    floor (0.567478179931641 × 131072)
    floor (74380.5)     		ty = 74380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74364 / 74380 ti = "17/74364/74380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74364/74380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74364 ÷ 217
    74364 ÷ 131072     		x = 0.567352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74380 ÷ 217
    74380 ÷ 131072     		y = 0.567474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567352294921875 × 2 - 1) × π
    0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.13494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.423953940239777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42318695} λ = 0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423953940239777))-π/2
    2×atan(0.654454025210135)-π/2
    2×0.57949997572919-π/2
    1.15899995145838-1.57079632675     		φ = -0.41179638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41179638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.594195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74364 KachelY 74380 0.42318695 -0.41179638 24.246826 -23.594195
    Oben rechts KachelX + 1 74365 KachelY 74380 0.42323489 -0.41179638 24.249573 -23.594195
    Unten links KachelX 74364 KachelY + 1 74381 0.42318695 -0.41184030 24.246826 -23.596711
    Unten rechts KachelX + 1 74365 KachelY + 1 74381 0.42323489 -0.41184030 24.249573 -23.596711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41179638--0.41184030) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41179638--0.41184030) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42318695-0.42323489) × cos(-0.41179638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916403289611731 × 6371000     		do = 279.893152867914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42318695-0.42323489) × cos(-0.41184030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916385709476392 × 6371000     		du = 279.887783442068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41179638)-sin(-0.41184030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916403289611731-0.916385709476392)×R²
    abs(0.42323489-0.42318695)×1.75801353391458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75801353391458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75801353391458e-05×40589641000000     		ar = 78317.3610337397m²