Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74352 / 74384
↖ ↑ ↗
← S 23.604262°
E 24.213867°		 ← 279.81 m → S 23.604262°
E 24.216614°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
S 23.606778°
E 24.213867°		 ← 279.81 m →
78 295 m²		 S 23.606778°
E 24.216614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567264556884766 y=0.567508697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567264556884766 × 217)
    floor (0.567264556884766 × 131072)
    floor (74352.5)     		tx = 74352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567508697509766 × 217)
    floor (0.567508697509766 × 131072)
    floor (74384.5)     		ty = 74384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74352 / 74384 ti = "17/74352/74384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74352/74384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74352 ÷ 217
    74352 ÷ 131072     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74384 ÷ 217
    74384 ÷ 131072     		y = 0.5675048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    -0.135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.424145687838257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424145687838257))-π/2
    2×atan(0.654328547252918)-π/2
    2×0.579412120035876-π/2
    1.15882424007175-1.57079632675     		φ = -0.41197209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41197209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.604262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74352 KachelY 74384 0.42261171 -0.41197209 24.213867 -23.604262
    Oben rechts KachelX + 1 74353 KachelY 74384 0.42265964 -0.41197209 24.216614 -23.604262
    Unten links KachelX 74352 KachelY + 1 74385 0.42261171 -0.41201601 24.213867 -23.606778
    Unten rechts KachelX + 1 74353 KachelY + 1 74385 0.42265964 -0.41201601 24.216614 -23.606778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41197209--0.41201601) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41197209--0.41201601) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42265964) × cos(-0.41197209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916332946451931 × 6371000     		do = 279.813288684614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42265964) × cos(-0.41201601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916315359244879 × 6371000     		du = 279.807918219367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41197209)-sin(-0.41201601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916332946451931-0.916315359244879)×R²
    abs(0.42265964-0.42261171)×1.75872070520278e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75872070520278e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75872070520278e-05×40589641000000     		ar = 78295.0137462549m²