Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73774 / 73839
↖ ↑ ↗
← S 22.225548°
E 22.626343°		 ← 282.73 m → S 22.225548°
E 22.629090°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
S 22.228090°
E 22.626343°		 ← 282.73 m →
79 923 m²		 S 22.228090°
E 22.629090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562854766845703 y=0.563350677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562854766845703 × 217)
    floor (0.562854766845703 × 131072)
    floor (73774.5)     		tx = 73774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563350677490234 × 217)
    floor (0.563350677490234 × 131072)
    floor (73839.5)     		ty = 73839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73774 / 73839 ti = "17/73774/73839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73774/73839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73774 ÷ 217
    73774 ÷ 131072     		x = 0.562850952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73839 ÷ 217
    73839 ÷ 131072     		y = 0.563346862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562850952148438 × 2 - 1) × π
    0.125701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39490418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563346862792969 × 2 - 1) × π
    -0.126693725585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.398020077545326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39490418} λ = 0.39490418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398020077545326))-π/2
    2×atan(0.671648542472581)-π/2
    2×0.591443668741901-π/2
    1.1828873374838-1.57079632675     		φ = -0.38790899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39490418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.626343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38790899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.225548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73774 KachelY 73839 0.39490418 -0.38790899 22.626343 -22.225548
    Oben rechts KachelX + 1 73775 KachelY 73839 0.39495212 -0.38790899 22.629090 -22.225548
    Unten links KachelX 73774 KachelY + 1 73840 0.39490418 -0.38795336 22.626343 -22.228090
    Unten rechts KachelX + 1 73775 KachelY + 1 73840 0.39495212 -0.38795336 22.629090 -22.228090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38790899--0.38795336) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38790899--0.38795336) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39490418-0.39495212) × cos(-0.38790899) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925702015056146 × 6371000     		do = 282.733222968156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39490418-0.39495212) × cos(-0.38795336) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925685231033092 × 6371000     		du = 282.728096695495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38790899)-sin(-0.38795336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925702015056146-0.925685231033092)×R²
    abs(0.39495212-0.39490418)×1.67840230532734e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67840230532734e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67840230532734e-05×40589641000000     		ar = 79922.6620022778m²