Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7375 / 11171
↖ ↑ ↗
← S 54.610255°
W 17.951660°		 ← 1 414.99 m → S 54.610255°
W 17.929687°		 →
↑
1 414.81 m
↓
↑
1 414.81 m
↓
S 54.622978°
W 17.951660°		 ← 1 414.55 m →
2 001 624 m²		 S 54.622978°
W 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450164794921875 y=0.681854248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450164794921875 × 214)
    floor (0.450164794921875 × 16384)
    floor (7375.5)     		tx = 7375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681854248046875 × 214)
    floor (0.681854248046875 × 16384)
    floor (11171.5)     		ty = 11171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7375 / 11171 ti = "14/7375/11171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7375/11171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7375 ÷ 214
    7375 ÷ 16384     		x = 0.45013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11171 ÷ 214
    11171 ÷ 16384     		y = 0.68182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31331558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3636474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14243219174518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31331558} λ = -0.31331558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14243219174518))-π/2
    2×atan(0.31904210581882)-π/2
    2×0.308833786015808-π/2
    0.617667572031616-1.57079632675     		φ = -0.95312875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31331558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95312875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.610255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7375 KachelY 11171 -0.31331558 -0.95312875 -17.951660 -54.610255
    Oben rechts KachelX + 1 7376 KachelY 11171 -0.31293208 -0.95312875 -17.929687 -54.610255
    Unten links KachelX 7375 KachelY + 1 11172 -0.31331558 -0.95335082 -17.951660 -54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 7376 KachelY + 1 11172 -0.31293208 -0.95335082 -17.929687 -54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95312875--0.95335082) × R
    0.000222070000000074 × 6371000     		dl = 1414.80797000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95312875--0.95335082) × R
    0.000222070000000074 × 6371000     		dr = 1414.80797000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31331558--0.31293208) × cos(-0.95312875) × R
    0.000383499999999981 × 0.579135272787602 × 6371000     		do = 1414.98876059351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31331558--0.31293208) × cos(-0.95335082) × R
    0.000383499999999981 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 1414.54639835285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95312875)-sin(-0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579135272787602-0.578954220058383)×R²
    abs(-0.31293208--0.31331558)×0.000181052729218978×R²
    0.000383499999999981×0.000181052729218978×6371000²
    0.000383499999999981×0.000181052729218978×40589641000000     		ar = 2001624.4553626m²