Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73748 / 73844
↖ ↑ ↗
← S 22.238260°
E 22.554932°		 ← 282.71 m → S 22.238260°
E 22.557678°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
S 22.240802°
E 22.554932°		 ← 282.70 m →
79 915 m²		 S 22.240802°
E 22.557678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562656402587891 y=0.563388824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562656402587891 × 217)
    floor (0.562656402587891 × 131072)
    floor (73748.5)     		tx = 73748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563388824462891 × 217)
    floor (0.563388824462891 × 131072)
    floor (73844.5)     		ty = 73844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73748 / 73844 ti = "17/73748/73844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73748/73844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73748 ÷ 217
    73748 ÷ 131072     		x = 0.562652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73844 ÷ 217
    73844 ÷ 131072     		y = 0.563385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562652587890625 × 2 - 1) × π
    0.12530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39365782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.398259762043427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39365782} λ = 0.39365782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398259762043427))-π/2
    2×atan(0.671487578019891)-π/2
    2×0.591332735560107-π/2
    1.18266547112021-1.57079632675     		φ = -0.38813086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39365782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.554932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38813086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.238260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73748 KachelY 73844 0.39365782 -0.38813086 22.554932 -22.238260
    Oben rechts KachelX + 1 73749 KachelY 73844 0.39370576 -0.38813086 22.557678 -22.238260
    Unten links KachelX 73748 KachelY + 1 73845 0.39365782 -0.38817523 22.554932 -22.240802
    Unten rechts KachelX + 1 73749 KachelY + 1 73845 0.39370576 -0.38817523 22.557678 -22.240802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38813086--0.38817523) × R
    4.43699999999603e-05 × 6371000     		dl = 282.681269999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38813086--0.38817523) × R
    4.43699999999603e-05 × 6371000     		dr = 282.681269999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39365782-0.39370576) × cos(-0.38813086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925618069148094 × 6371000     		do = 282.70758372707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39365782-0.39370576) × cos(-0.38817523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925601276012582 × 6371000     		du = 282.702454671229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38813086)-sin(-0.38817523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925618069148094-0.925601276012582)×R²
    abs(0.39370576-0.39365782)×1.6793135512283e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6793135512283e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6793135512283e-05×40589641000000     		ar = 79915.413875729m²