Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7372 / 10954
↖ ↑ ↗
← S 51.754240°
W 18.017578°		 ← 1 512.44 m → S 51.754240°
W 17.995606°		 →
↑
1 512.22 m
↓
↑
1 512.22 m
↓
S 51.767840°
W 18.017578°		 ← 1 511.98 m →
2 286 795 m²		 S 51.767840°
W 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449981689453125 y=0.668609619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449981689453125 × 214)
    floor (0.449981689453125 × 16384)
    floor (7372.5)     		tx = 7372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668609619140625 × 214)
    floor (0.668609619140625 × 16384)
    floor (10954.5)     		ty = 10954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7372 / 10954 ti = "14/7372/10954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7372/10954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7372 ÷ 214
    7372 ÷ 16384     		x = 0.449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10954 ÷ 214
    10954 ÷ 16384     		y = 0.6685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31446606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.337158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05921373400476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31446606} λ = -0.31446606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05921373400476))-π/2
    2×atan(0.3467283238726)-π/2
    2×0.333757217827079-π/2
    0.667514435654159-1.57079632675     		φ = -0.90328189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31446606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90328189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.754240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7372 KachelY 10954 -0.31446606 -0.90328189 -18.017578 -51.754240
    Oben rechts KachelX + 1 7373 KachelY 10954 -0.31408257 -0.90328189 -17.995606 -51.754240
    Unten links KachelX 7372 KachelY + 1 10955 -0.31446606 -0.90351925 -18.017578 -51.767840
    Unten rechts KachelX + 1 7373 KachelY + 1 10955 -0.31408257 -0.90351925 -17.995606 -51.767840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90328189--0.90351925) × R
    0.000237359999999964 × 6371000     		dl = 1512.22055999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90328189--0.90351925) × R
    0.000237359999999964 × 6371000     		dr = 1512.22055999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31446606--0.31408257) × cos(-0.90328189) × R
    0.000383489999999986 × 0.61903583251821 × 6371000     		do = 1512.4375015484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31446606--0.31408257) × cos(-0.90351925) × R
    0.000383489999999986 × 0.618849401381119 × 6371000     		du = 1511.98201023694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90328189)-sin(-0.90351925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61903583251821-0.618849401381119)×R²
    abs(-0.31408257--0.31446606)×0.000186431137090826×R²
    0.000383489999999986×0.000186431137090826×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186431137090826×40589641000000     		ar = 2286794.69462918m²