Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7371 / 11152
↖ ↑ ↗
← S 54.367758°
W 18.039551°		 ← 1 423.41 m → S 54.367758°
W 18.017578°		 →
↑
1 423.22 m
↓
↑
1 423.22 m
↓
S 54.380558°
W 18.039551°		 ← 1 422.96 m →
2 025 501 m²		 S 54.380558°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449920654296875 y=0.680694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449920654296875 × 214)
    floor (0.449920654296875 × 16384)
    floor (7371.5)     		tx = 7371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680694580078125 × 214)
    floor (0.680694580078125 × 16384)
    floor (11152.5)     		ty = 11152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7371 / 11152 ti = "14/7371/11152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7371/11152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7371 ÷ 214
    7371 ÷ 16384     		x = 0.44989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11152 ÷ 214
    11152 ÷ 16384     		y = 0.6806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6806640625 × 2 - 1) × π
    -0.361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31484956} λ = -0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13514578300293))-π/2
    2×atan(0.321375266867711)-π/2
    2×0.310949966819796-π/2
    0.621899933639592-1.57079632675     		φ = -0.94889639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94889639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.367758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7371 KachelY 11152 -0.31484956 -0.94889639 -18.039551 -54.367758
    Oben rechts KachelX + 1 7372 KachelY 11152 -0.31446606 -0.94889639 -18.017578 -54.367758
    Unten links KachelX 7371 KachelY + 1 11153 -0.31484956 -0.94911978 -18.039551 -54.380558
    Unten rechts KachelX + 1 7372 KachelY + 1 11153 -0.31446606 -0.94911978 -18.017578 -54.380558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94889639--0.94911978) × R
    0.000223389999999934 × 6371000     		dl = 1423.21768999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94889639--0.94911978) × R
    0.000223389999999934 × 6371000     		dr = 1423.21768999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31484956--0.31446606) × cos(-0.94889639) × R
    0.000383499999999981 × 0.582580428535012 × 6371000     		do = 1423.40623556031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31484956--0.31446606) × cos(-0.94911978) × R
    0.000383499999999981 × 0.582398848626748 × 6371000     		du = 1422.96258527442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94889639)-sin(-0.94911978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582580428535012-0.582398848626748)×R²
    abs(-0.31446606--0.31484956)×0.000181579908264395×R²
    0.000383499999999981×0.000181579908264395×6371000²
    0.000383499999999981×0.000181579908264395×40589641000000     		ar = 2025501.23746141m²