Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7371 / 10952
↖ ↑ ↗
← S 51.727028°
W 18.039551°		 ← 1 513.39 m → S 51.727028°
W 18.017578°		 →
↑
1 513.18 m
↓
↑
1 513.18 m
↓
S 51.740636°
W 18.039551°		 ← 1 512.93 m →
2 289 678 m²		 S 51.740636°
W 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449920654296875 y=0.668487548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449920654296875 × 214)
    floor (0.449920654296875 × 16384)
    floor (7371.5)     		tx = 7371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668487548828125 × 214)
    floor (0.668487548828125 × 16384)
    floor (10952.5)     		ty = 10952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7371 / 10952 ti = "14/7371/10952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7371/10952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7371 ÷ 214
    7371 ÷ 16384     		x = 0.44989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10952 ÷ 214
    10952 ÷ 16384     		y = 0.66845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66845703125 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31484956} λ = -0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05844674361084))-π/2
    2×atan(0.346994363178064)-π/2
    2×0.333994686600669-π/2
    0.667989373201338-1.57079632675     		φ = -0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7371 KachelY 10952 -0.31484956 -0.90280695 -18.039551 -51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 7372 KachelY 10952 -0.31446606 -0.90280695 -18.017578 -51.727028
    Unten links KachelX 7371 KachelY + 1 10953 -0.31484956 -0.90304446 -18.039551 -51.740636
    Unten rechts KachelX + 1 7372 KachelY + 1 10953 -0.31446606 -0.90304446 -18.017578 -51.740636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90280695--0.90304446) × R
    0.000237510000000052 × 6371000     		dl = 1513.17621000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90280695--0.90304446) × R
    0.000237510000000052 × 6371000     		dr = 1513.17621000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31484956--0.31446606) × cos(-0.90280695) × R
    0.000383499999999981 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 1513.38811302691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31484956--0.31446606) × cos(-0.90304446) × R
    0.000383499999999981 × 0.619222283744068 × 6371000     		du = 1512.93249259271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90280695)-sin(-0.90304446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.619222283744068)×R²
    abs(-0.31446606--0.31484956)×0.000186479123931771×R²
    0.000383499999999981×0.000186479123931771×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186479123931771×40589641000000     		ar = 2289678.18289227m²