Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73702 / 73826
↖ ↑ ↗
← S 22.192491°
E 22.428589°		 ← 282.80 m → S 22.192491°
E 22.431335°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
S 22.195035°
E 22.428589°		 ← 282.79 m →
79 978 m²		 S 22.195035°
E 22.431335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562305450439453 y=0.563251495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562305450439453 × 217)
    floor (0.562305450439453 × 131072)
    floor (73702.5)     		tx = 73702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563251495361328 × 217)
    floor (0.563251495361328 × 131072)
    floor (73826.5)     		ty = 73826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73702 / 73826 ti = "17/73702/73826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73702/73826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73702 ÷ 217
    73702 ÷ 131072     		x = 0.562301635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73826 ÷ 217
    73826 ÷ 131072     		y = 0.563247680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562301635742188 × 2 - 1) × π
    0.124603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39145272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563247680664062 × 2 - 1) × π
    -0.126495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.397396897850265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39145272} λ = 0.39145272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397396897850265))-π/2
    2×atan(0.672067230651903)-π/2
    2×0.591732142073836-π/2
    1.18346428414767-1.57079632675     		φ = -0.38733204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39145272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.428589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38733204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.192491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73702 KachelY 73826 0.39145272 -0.38733204 22.428589 -22.192491
    Oben rechts KachelX + 1 73703 KachelY 73826 0.39150066 -0.38733204 22.431335 -22.192491
    Unten links KachelX 73702 KachelY + 1 73827 0.39145272 -0.38737643 22.428589 -22.195035
    Unten rechts KachelX + 1 73703 KachelY + 1 73827 0.39150066 -0.38737643 22.431335 -22.195035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38733204--0.38737643) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38733204--0.38737643) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39145272-0.39150066) × cos(-0.38733204) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925920094383717 × 6371000     		do = 282.799830008159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39145272-0.39150066) × cos(-0.38737643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925903326505328 × 6371000     		du = 282.794708666493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38733204)-sin(-0.38737643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925920094383717-0.925903326505328)×R²
    abs(0.39150066-0.39145272)×1.67678783894454e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67678783894454e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67678783894454e-05×40589641000000     		ar = 79977.5252899175m²