Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73700 / 73825
↖ ↑ ↗
← S 22.189948°
E 22.423096°		 ← 282.80 m → S 22.189948°
E 22.425843°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
S 22.192491°
E 22.423096°		 ← 282.80 m →
79 961 m²		 S 22.192491°
E 22.425843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562290191650391 y=0.563243865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562290191650391 × 217)
    floor (0.562290191650391 × 131072)
    floor (73700.5)     		tx = 73700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563243865966797 × 217)
    floor (0.563243865966797 × 131072)
    floor (73825.5)     		ty = 73825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73700 / 73825 ti = "17/73700/73825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73700/73825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73700 ÷ 217
    73700 ÷ 131072     		x = 0.562286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73825 ÷ 217
    73825 ÷ 131072     		y = 0.563240051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562286376953125 × 2 - 1) × π
    0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563240051269531 × 2 - 1) × π
    -0.126480102539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.397348960950645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39135685} λ = 0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397348960950645))-π/2
    2×atan(0.672099448243476)-π/2
    2×0.591754335144036-π/2
    1.18350867028807-1.57079632675     		φ = -0.38728766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38728766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.189948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73700 KachelY 73825 0.39135685 -0.38728766 22.423096 -22.189948
    Oben rechts KachelX + 1 73701 KachelY 73825 0.39140479 -0.38728766 22.425843 -22.189948
    Unten links KachelX 73700 KachelY + 1 73826 0.39135685 -0.38733204 22.423096 -22.192491
    Unten rechts KachelX + 1 73701 KachelY + 1 73826 0.39140479 -0.38733204 22.425843 -22.192491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38728766--0.38733204) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38728766--0.38733204) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39135685-0.39140479) × cos(-0.38728766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925936856660824 × 6371000     		do = 282.804949639048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39135685-0.39140479) × cos(-0.38733204) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.925920094383717 × 6371000     		du = 282.799830008159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38728766)-sin(-0.38733204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925936856660824-0.925920094383717)×R²
    abs(0.39140479-0.39135685)×1.67622771062303e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67622771062303e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67622771062303e-05×40589641000000     		ar = 79960.9560678589m²