Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7370 / 11157
↖ ↑ ↗
← S 54.431713°
W 18.061523°		 ← 1 421.15 m → S 54.431713°
W 18.039551°		 →
↑
1 420.92 m
↓
↑
1 420.92 m
↓
S 54.444492°
W 18.061523°		 ← 1 420.71 m →
2 019 034 m²		 S 54.444492°
W 18.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449859619140625 y=0.680999755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449859619140625 × 214)
    floor (0.449859619140625 × 16384)
    floor (7370.5)     		tx = 7370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680999755859375 × 214)
    floor (0.680999755859375 × 16384)
    floor (11157.5)     		ty = 11157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7370 / 11157 ti = "14/7370/11157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7370/11157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7370 ÷ 214
    7370 ÷ 16384     		x = 0.4498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11157 ÷ 214
    11157 ÷ 16384     		y = 0.68096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31523305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.3619384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13706325898773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31523305} λ = -0.31523305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13706325898773))-π/2
    2×atan(0.320759627936443)-π/2
    2×0.31039185995797-π/2
    0.620783719915939-1.57079632675     		φ = -0.95001261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31523305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95001261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.431713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7370 KachelY 11157 -0.31523305 -0.95001261 -18.061523 -54.431713
    Oben rechts KachelX + 1 7371 KachelY 11157 -0.31484956 -0.95001261 -18.039551 -54.431713
    Unten links KachelX 7370 KachelY + 1 11158 -0.31523305 -0.95023564 -18.061523 -54.444492
    Unten rechts KachelX + 1 7371 KachelY + 1 11158 -0.31484956 -0.95023564 -18.039551 -54.444492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95001261--0.95023564) × R
    0.000223030000000013 × 6371000     		dl = 1420.92413000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95001261--0.95023564) × R
    0.000223030000000013 × 6371000     		dr = 1420.92413000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31523305--0.31484956) × cos(-0.95001261) × R
    0.000383490000000042 × 0.581672832248121 × 6371000     		do = 1421.15166668995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31523305--0.31484956) × cos(-0.95023564) × R
    0.000383490000000042 × 0.58149140008678 × 6371000     		du = 1420.70838894998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95001261)-sin(-0.95023564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581672832248121-0.58149140008678)×R²
    abs(-0.31484956--0.31523305)×0.000181432161340811×R²
    0.000383490000000042×0.000181432161340811×6371000²
    0.000383490000000042×0.000181432161340811×40589641000000     		ar = 2019033.77194009m²