Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7370 / 11153
↖ ↑ ↗
← S 54.380558°
W 18.061523°		 ← 1 422.93 m → S 54.380558°
W 18.039551°		 →
↑
1 422.71 m
↓
↑
1 422.71 m
↓
S 54.393352°
W 18.061523°		 ← 1 422.48 m →
2 024 092 m²		 S 54.393352°
W 18.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449859619140625 y=0.680755615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449859619140625 × 214)
    floor (0.449859619140625 × 16384)
    floor (7370.5)     		tx = 7370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680755615234375 × 214)
    floor (0.680755615234375 × 16384)
    floor (11153.5)     		ty = 11153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7370 / 11153 ti = "14/7370/11153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7370/11153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7370 ÷ 214
    7370 ÷ 16384     		x = 0.4498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11153 ÷ 214
    11153 ÷ 16384     		y = 0.68072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31523305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.3614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13552927819989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31523305} λ = -0.31523305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13552927819989))-π/2
    2×atan(0.321252044625524)-π/2
    2×0.310838275830765-π/2
    0.62167655166153-1.57079632675     		φ = -0.94911978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31523305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94911978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.380558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7370 KachelY 11153 -0.31523305 -0.94911978 -18.061523 -54.380558
    Oben rechts KachelX + 1 7371 KachelY 11153 -0.31484956 -0.94911978 -18.039551 -54.380558
    Unten links KachelX 7370 KachelY + 1 11154 -0.31523305 -0.94934309 -18.061523 -54.393352
    Unten rechts KachelX + 1 7371 KachelY + 1 11154 -0.31484956 -0.94934309 -18.039551 -54.393352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94911978--0.94934309) × R
    0.000223309999999977 × 6371000     		dl = 1422.70800999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94911978--0.94934309) × R
    0.000223309999999977 × 6371000     		dr = 1422.70800999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31523305--0.31484956) × cos(-0.94911978) × R
    0.000383490000000042 × 0.582398848626748 × 6371000     		do = 1422.925480644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31523305--0.31484956) × cos(-0.94934309) × R
    0.000383490000000042 × 0.582217304697639 × 6371000     		du = 1422.48192983136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94911978)-sin(-0.94934309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582398848626748-0.582217304697639)×R²
    abs(-0.31484956--0.31523305)×0.000181543929108519×R²
    0.000383490000000042×0.000181543929108519×6371000²
    0.000383490000000042×0.000181543929108519×40589641000000     		ar = 2024091.96571004m²