Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73699 / 73817
↖ ↑ ↗
← S 22.169601°
E 22.420349°		 ← 282.85 m → S 22.169601°
E 22.423096°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
S 22.172145°
E 22.420349°		 ← 282.84 m →
79 991 m²		 S 22.172145°
E 22.423096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562282562255859 y=0.563182830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562282562255859 × 217)
    floor (0.562282562255859 × 131072)
    floor (73699.5)     		tx = 73699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563182830810547 × 217)
    floor (0.563182830810547 × 131072)
    floor (73817.5)     		ty = 73817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73699 / 73817 ti = "17/73699/73817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73699/73817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73699 ÷ 217
    73699 ÷ 131072     		x = 0.562278747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73817 ÷ 217
    73817 ÷ 131072     		y = 0.563179016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562278747558594 × 2 - 1) × π
    0.124557495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.39130891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563179016113281 × 2 - 1) × π
    -0.126358032226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.396965465753685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39130891} λ = 0.39130891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.396965465753685))-π/2
    2×atan(0.672357244582427)-π/2
    2×0.591931894167488-π/2
    1.18386378833498-1.57079632675     		φ = -0.38693254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39130891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.420349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38693254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.169601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73699 KachelY 73817 0.39130891 -0.38693254 22.420349 -22.169601
    Oben rechts KachelX + 1 73700 KachelY 73817 0.39135685 -0.38693254 22.423096 -22.169601
    Unten links KachelX 73699 KachelY + 1 73818 0.39130891 -0.38697693 22.420349 -22.172145
    Unten rechts KachelX + 1 73700 KachelY + 1 73818 0.39135685 -0.38697693 22.423096 -22.172145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38693254--0.38697693) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38693254--0.38697693) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39130891-0.39135685) × cos(-0.38693254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926070919409276 × 6371000     		do = 282.845895852873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39130891-0.39135685) × cos(-0.38697693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926054167952162 × 6371000     		du = 282.840779526688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38693254)-sin(-0.38697693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926070919409276-0.926054167952162)×R²
    abs(0.39135685-0.39130891)×1.67514571139948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67514571139948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67514571139948e-05×40589641000000     		ar = 79990.5538204958m²