Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73697 / 73823
↖ ↑ ↗
← S 22.184862°
E 22.414856°		 ← 282.76 m → S 22.184862°
E 22.417602°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
S 22.187405°
E 22.414856°		 ← 282.75 m →
79 965 m²		 S 22.187405°
E 22.417602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562267303466797 y=0.563228607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562267303466797 × 217)
    floor (0.562267303466797 × 131072)
    floor (73697.5)     		tx = 73697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563228607177734 × 217)
    floor (0.563228607177734 × 131072)
    floor (73823.5)     		ty = 73823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73697 / 73823 ti = "17/73697/73823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73697/73823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73697 ÷ 217
    73697 ÷ 131072     		x = 0.562263488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73823 ÷ 217
    73823 ÷ 131072     		y = 0.563224792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562263488769531 × 2 - 1) × π
    0.124526977539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39121304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563224792480469 × 2 - 1) × π
    -0.126449584960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.397253087151405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39121304} λ = 0.39121304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397253087151405))-π/2
    2×atan(0.672163888060042)-π/2
    2×0.591798722489809-π/2
    1.18359744497962-1.57079632675     		φ = -0.38719888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39121304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.414856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38719888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.184862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73697 KachelY 73823 0.39121304 -0.38719888 22.414856 -22.184862
    Oben rechts KachelX + 1 73698 KachelY 73823 0.39126097 -0.38719888 22.417602 -22.184862
    Unten links KachelX 73697 KachelY + 1 73824 0.39121304 -0.38724327 22.414856 -22.187405
    Unten rechts KachelX + 1 73698 KachelY + 1 73824 0.39126097 -0.38724327 22.417602 -22.187405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38719888--0.38724327) × R
    4.43899999999497e-05 × 6371000     		dl = 282.80868999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38719888--0.38724327) × R
    4.43899999999497e-05 × 6371000     		dr = 282.80868999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39121304-0.39126097) × cos(-0.38719888) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925970383295794 × 6371000     		do = 282.756195962927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39121304-0.39126097) × cos(-0.38724327) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.925953620890592 × 6371000     		du = 282.751077360847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38719888)-sin(-0.38724327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925970383295794-0.925953620890592)×R²
    abs(0.39126097-0.39121304)×1.67624052022086e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.67624052022086e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.67624052022086e-05×40589641000000     		ar = 79965.1855901306m²