Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73694 / 73822
↖ ↑ ↗
← S 22.182318°
E 22.406616°		 ← 282.76 m → S 22.182318°
E 22.409363°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
S 22.184862°
E 22.406616°		 ← 282.76 m →
79 967 m²		 S 22.184862°
E 22.409363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562244415283203 y=0.563220977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562244415283203 × 217)
    floor (0.562244415283203 × 131072)
    floor (73694.5)     		tx = 73694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563220977783203 × 217)
    floor (0.563220977783203 × 131072)
    floor (73822.5)     		ty = 73822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73694 / 73822 ti = "17/73694/73822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73694/73822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73694 ÷ 217
    73694 ÷ 131072     		x = 0.562240600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73822 ÷ 217
    73822 ÷ 131072     		y = 0.563217163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562240600585938 × 2 - 1) × π
    0.124481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39106923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563217163085938 × 2 - 1) × π
    -0.126434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.397205150251785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39106923} λ = 0.39106923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.397205150251785))-π/2
    2×atan(0.672196110285183)-π/2
    2×0.59182091676531-π/2
    1.18364183353062-1.57079632675     		φ = -0.38715449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39106923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.406616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38715449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.182318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73694 KachelY 73822 0.39106923 -0.38715449 22.406616 -22.182318
    Oben rechts KachelX + 1 73695 KachelY 73822 0.39111716 -0.38715449 22.409363 -22.182318
    Unten links KachelX 73694 KachelY + 1 73823 0.39106923 -0.38719888 22.406616 -22.184862
    Unten rechts KachelX + 1 73695 KachelY + 1 73823 0.39111716 -0.38719888 22.409363 -22.184862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38715449--0.38719888) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38715449--0.38719888) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39106923-0.39111716) × cos(-0.38715449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925987143876397 × 6371000     		do = 282.761314008172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39106923-0.39111716) × cos(-0.38719888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925970383295794 × 6371000     		du = 282.756195963255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38715449)-sin(-0.38719888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925987143876397-0.925970383295794)×R²
    abs(0.39111716-0.39106923)×1.67605806034032e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67605806034032e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67605806034032e-05×40589641000000     		ar = 79966.633096677m²